Применение вероятностных схем. Вероятностные параметры оценки надежности и нарушения качества. Расчет последовательных, параллельных и комбинированных схем

В управлении качеством вероятностные схемы применяются для оценки надежности. Надежность – один из показателей качества, однако часто этот показатель является основным, определяющим качество и эффективность продукции, в первую очередь технических объектов. Иногда обеспечение надежности есть главное условие безопасности работы объекта. В соответствии со стандартом надежность – это свойство объекта сохранять во времени в установленных пределах значения всех параметров, характеризующих способность выполнять требуемые функции в заданных режимах и условиях применения, технического обслуживания, ремонтов, хранения и транспортировки.

Состояние объекта, при котором он способен выполнять заданные функции, сохраняя значения основных параметров в пределах, установленных нормативно-технической документацией, называется работоспособностью. Состояние, при котором хотя бы один из указанных параметров не соответствует требованиям, – неработоспособность. Событие, состоящее в нарушении работоспособности, называется отказом. Предполагается, что отказ – событие случайное, поэтому время работы объекта до первого отказа – случайная величина.

Для оценки характеристик надежности по опытным данным проводятся специальные испытания. По результатам испытаний принимается решение о виде распределения времени до отказа, оцениваются вероятность безотказной работы (функция надежности), вероятность отказа, интенсивность отказов, средняя наработка до отказа и другие вероятностные параметры.

В производственных условиях используют несколько различных типов испытаний на надежность. В зависимости от целей это могут быть определительные испытания, цель которых – оценка показателей надежности, и контрольные испытания для оценки уровня надежности исследуемого объекта. Контрольные испытания проводятся методами выборочного контроля при приемке продукции. В частности, широко используются методы последовательного контроля.

Испытания могут проводиться в лабораторных условиях или в условиях эксплуатации, при нормальной нагрузке и в ужесточенном режиме. Важной проблемой является длительность испытаний, поэтому часто применяют ускоренные испытания. Испытания характеризуются тремя параметрами:

– числом испытываемых изделий (N); в частном случае может испытываться и только одно изделие (N = 1);

– наличием или отсутствием восстановления (замены) вышедших из строя изделий (условное обозначение: М – восстановление, R – замена, U – без восстановления и замены);

– длительностью испытаний (условное обозначение: r – испытание до r-го отказа ( ), T – испытание длительностью Т, ( ) – испытание длительностью, равной , где – момент r-го отказа, Т – заданный промежуток времени).

Соответствующие обозначения планов: [NMr], [NRr], [NUr], [NMT[, [NRT], [NUT], [NM(r, T)], и т.п.

Для оценки надежности объекта используются последовательные, параллельные и комбинированные вероятностные схемы.

Рассмотрим надежность объекта, полагая, что он представляет собой систему, состоящую из n элементов. Введем следующие предположения:

– отказы элементов независимы (отказ одного из элементов не влияет на надежность других);

– состояние элементов системы однозначно определяет надежность всей системы;

– после отказа элементы не восстанавливаются.

Введем обозначения событий: событие А = {система надежна}, событие {j-й элемент надежен}.

Надежность j-го элемента

– это вероятность безотказной работы элемента за время t.

Вероятность отказа j-го элемента

.

Интенсивность отказов j-го элемента обозначим .

Надежность системы (вероятность ее безотказной работы):

.

Цель расчета – определение именно этого показателя. Вероятность отказа системы

.

Рассмотрим последовательное соединение элементов (рис. 1). Очевидно, система такого вида надежна тогда и только тогда, когда надежны все элементы (часто это обстоятельство принимают за определение последовательного соединения элементов): .

Рис. 1. Последовательное соединение элементов

С учетом независимости отказов надежность системы

(1)

а вероятность отказа

.

Найдем интенсивность отказов системы:

.

При последовательном соединении интенсивность отказов системы равна сумме интенсивностей отказов ее элементов. При одинаковых надежностях элементов

, , , , .

Очевидно, при заданных вероятностях чем больше количество элементов в системе, тем ниже ее надежность. Например, при надежность системы из двух элементов составит:

,

из трех элементов:

и т.п.

При параллельном соединении (рис. 2) отказ системы произойдет тогда и только тогда, когда откажут все элементы:

;

вероятность отказа:

.

Тогда надежность системы:

. (2)

Рис. 2. Параллельное соединение элементов

Это обстоятельство используется для резервирования, когда для работы необходим один элемент, но его могут заместить другие в случае выхода этого элемента из строя.

Пример.

Система состоит из двух последовательно соединенных элементов (рис. 3, а) с одинаковой надежностью . Сравнить надежность такой системы с надежностью резервированных систем: при общем резервировании (рис. 3, б) и поэлементном резервировании (комбинированная) (рис. 3, в).

Надежность системы по рис. 3, а найдена выше и составляет

.

Система по рис. 3, б – это параллельное соединение двух подсистем, каждая из которых состоит из двух последовательно соединенных элементов. Надежность каждой подсистемы равна , вероятность отказа , тогда в соответствии с формулой (2) получим

.

Вероятность безотказной работы системы по рис. 3, в найдем как надежность двух последовательно соединенных подсистем. Надежность каждой подсистемы из двух параллельно соединенных элементов равна , (здесь ); тогда надежность системы по формуле (1) составит:

.

Рис. 3. Расчет надежности систем при резервировании:

а – нерезервированная система;

б – система с общим резервированием;

в – система с поэлементным резервированием (комбинированная схема)

Резервные элементы могут быть постоянно нагружены, как и основной элемент; такой резерв называют нагруженным или горячим (именно такая ситуация рассмотрена в приведенном примере). Если же резервный элемент включается только при отказе основного элемента, то такой резерв называется холодным. Расчет холодного резервирования проводится с использованием аппарата теории марковских процессов.

Гипергеометрическое и биноминальное распределения. Аналитическое представление. Использование для допускового контроля. Построение на основе биноминального распределения, оперативных характеристик выборочного контроля.

Гипергеометрическое распределение имеет место при выборочном контроле конечной совокупности объектов объема N по альтернативному признаку. При этом, каждый контролируемый объект классифицируется либо как обладающий каким-либо признаком, либо как не обладающий этим признаком.

Предположим, что контролируется партия из N изделий. Для контроля делается случайная выборка объемом n. Количество способов, которыми можно выбрать n изделий из N без учета порядка следования – это число сочетаний

.

Пусть случайная величина X – количество дефектных (несоответствующих) изделий в выборке. Известно, что во всей партии изделий доля несоответствий составляет q. Тогда число дефектных изделий в партии равно Nq, число годных изделий составит . Рассмотрим событие – взято ровно m дефектных изделий. Это возможно, если из Nq дефектных изделий взято m изделий, а из оставшихся годных взято изделий (всего в выборке n изделий). Тогда вероятность рассматриваемого события

. (1)

Данная формула описывает гипергеометрическое распределение.

Как правило, объем выборки составляет не более 10% от объема всей партии, в этом случае гипергеометрическое распределение может быть аппроксимировано биномиальным.

Пусть проводится эксперимент, в результате которого нас интересует, произошло событие А или не произошло. Случай, в котором событие А произошло, назовем успехом, вероятность и этого события . Если же событие А не произошло, то его вероятность .

Предположим теперь, что серия независимых испытаний та кого типа проводится n раз. Нас интересует вероятность события состоящего в том, что успех произошел ровно m раз, или вероятность того, что дискретная случайная величина X, равная числу успехов, примет значение m. Решение этой задачи имеет вид:

, (2)

где – число сочетаний из n элементов по m.

Данная формула задает биноминальный закон распределения дискретной случайной величины X (в её правой части – разложение бинома ).

Математическое ожидание случайной величины X, имеющей биномиальное распределение, равно , а дисперсия .

Построение оперативных характеристик выборочного контроля на основе биноминального распределения рассмотрим на примере одноступенчатого контроля по альтернативному признаку. Вероятность приемки партии в этом случае – это вероятность того, что количество дефектных изделий m в выборке не превысит приемочное число с. Используя формулу сложения вероятностей несовместных событий, получим уравнение оперативной характеристики одноступенчатого плана контроля:

. (3)

При использовании биномиального распределения (2) уравнение оперативной характеристики одноступенчатого плана примет вид:

. (4)

Используя это уравнение, получим следующие соотношения (из рис. 2 Приложения к вопросу 14):

;

. (5)

Решая численно систему нелинейных уравнений (5) при известных значениях AQL и LQ, a также заданных рисках и , находят параметры плана – объем выборки n и приемочное число c.

Анализ зависимостей (3) – (4) показывает, что при постоянном объеме выборки n с возрастанием приемочного числа с вероятность принятия партии с заданным приемлемым уровнем качества AQL возрастает (рис. 1, а), а с возрастанием n при постоянном с вероятность приемки партии уменьшается (рис. 1, б). Можно подобрать такой план контроля (n, с), который бы обеспечивал значения рисков и при заданных значениях уровней качества AQL и LQ.

Рис. 1. Оперативные характеристики при n = const (a) и с = const (б)

По результатам контроля множества партий продукции могут быть найдены некоторые полезные характеристики, в частности, средняя доля несоответствующих единиц продукции в принятых партиях (средний уровень выходного качества) и среднее число проконтролированных изделий в партии.

Рассмотрим одноступенчатый план, при котором забракованные партии изделий подвергаются сплошному контролю, т.е. контролируются все оставшиеся изделия партии, а выявленные дефектные изделия заменяют годными. Предположим, что доля дефектных изделий постоянна и равна q. Тогда с вероятностью партии изделий принимаются (доля дефектных изделий в ней приблизительно равна q), а с вероятностью партии подвергаются сплошному контролю; доля дефектных изделий в этих партиях равна нулю. Тогда средняя доля дефектных изделий в принятых партиях по формуле математического ожидания для дискретной случайной величины равна:

. (6)

Величина и называется средним уровнем выходного качества. Из формулы (6) видно, что при значение и при также , поскольку вероятность . Так как неотрицательная функция от q, равная нулю при и , то внутри интервала средний выходной уровень дефектности имеет максимум (рис. 2). Максимальный для заданного плана контроля средний уровень называют пределом среднего уровня выходного качества.

Рис. 2. Предел среднего уровня выходного качества

При использовании рассмотренного выше плана, когда забракованные партии изделий подвергаются сплошному контролю, число проконтролированных в партии объема N изделий есть случайная величина, принимающая значение n с вероятностью и значение N (сплошной контроль) с вероятностью . Поэтому среднее число проконтролированных изделий в партии равно:

. (7)

Если же принято решение о возврате забракованной партии поставщику, то объем контроля в этом случае постоянен и равен объему выборки n.

Для уменьшения объема контроля могут использоваться многоступенчатые и в частности двухступенчатые планы, где также возможно применение биноминального распределения.

Поиск по сайту: