Способ, основанный на истолковании интеграла как площади

Пусть подынтегральная функция неотрицательна и ограничена: , а двумерная случайная величина распределена равномерно в прямоугольнике D с основанием и высотой . Тогда двумерная плотность вероятности для точек, принадлежащих D; вне D.

В качестве оценки интеграла принимают , где n – общее число случайных точек , принадлежащих D; - число случайных точек, которые расположены под кривой .

Задача. Найти оценку интеграла .

Решение. Используем формулу .

В интервале (0,2) подынтегральная функция неотрицательна и ограничена, причём ; следовательно, можно принять c=4.

Введём в рассмотрение двумерную случайную величину (X,Y), распределённую равномерно в прямоугольнике D с основанием и высотой с=4, плотность вероятности которой .

Разыгрываем n=10 случайных точек , принадлежащих прямоугольнику D. Учитывая, что составляющая X в интервале (0,2) распределена равномерно с плотностью и составляющая Y в интервале (0,4) распределена равномерно с плотностью , разыграем координаты случайной точки , принадлежащей прямоугольнику D, по паре независимых случайных чисел : , .Отсюда , .

Номер i
	0,100 0,253 0,520 0,863 0,354 0,809 0,911 0,542 0,056 0,474	0,200 0,506 1,040 1,726 0,708 1,618 1,822 1,084 0,112 0,948	0,040 0,256 1,082 2,979 0,501 2,618 3,320 1,175 0,013 0,899	3,960 3,744 2,918 1,021 3,499 1,382 0,680 2,825 3,987 3,101	0,973 0,376 ,135 0,467 0,876 0,590 0,737 0,048 0,489 0,296	3,892 1,504 0,540 1,868 3,504 2,360 2,948 0,192 1,956 1,184

Если окажется, что , то точка лежит под кривой и в «счётчик » надо добавить единицу.

Результаты десяти испытаний приведены в таблице 3.

Из таблицы 3 находим . Искомая оценка интеграла

§5. Способ «выделения главной части».

В качестве оценки интеграла принимают

,

где - возможные значения случайной величины X, распределённой равномерно в интервале интегрирования , которые разыгрывают по формуле ; функция , причём интеграл можно вычислить обычными методами.

Задача. Найти оценку интеграла .

Решение. Так как , то примем . Тогда, полагая число испытаний n=10, имеем оценку

.

Выполнив элементарные преобразования, получим

.

Учитывая, что a=0, b=1, возможные значения разыграем по формуле . Результаты вычислений приведены в таблице 4.

Номер i
	0,100 0,973 0,253 0,376 0,520 0,135 0,863 0,467 0,354 0,876	0,010 0,947 0,064 0,141 0,270 0,018 0,745 0,218 0,125 0,767	1,010 1,947 1,064 1,141 1,270 1,018 1,745 1,218 1,125 1,767	1,005 1,395 1,032 1,068 1,127 1,009 1,321 1,104 1,061 1,329	2,000 1,843 2,000 1,995 1,984 2,000 1,897 1,990 1,997 1,891

Сложив числа последнего столбца таблицы 4, найдём сумму 19,597, подставив которую в соотношение , получим искомую оценку интеграла

.

Заметим, что точное значение I=1,147.

Поиск по сайту: