Здесь - мнимая единица (на комплексной плоскости умножение на «j» сводится к повороту вектора против часовой стрелки на угол 90o , а умножение на «-j» - к повороту вектора на 90o по часовой стрелке).
Формулы переходов из алгебраической формы комплексного числа в показательную и обратно дают возможность легко проводить расчеты в комплексных выражениях, например:
Мощность в цепях однофазного тока
Формула полной мощности определяет соотношение всех мощностей:
,
где: S - полная мощность цепи;
P - активная мощность цепи;
Q - реактивная мощность цепи.
В комплексной форме формула приобретает вид:
,
где: - комплексно сопряженный ток.
Например, если ток в комплексной форме представлен формулой , то сопряженный комплекс будет . Для тока комплексно сопряженным является ток
Построение векторных диаграмм
В основном векторные диаграммы строятся на комплексной плоскости и бывают двух типов:
- векторные диаграммы токов и напряжений;
- векторные топографические диаграммы напряжений.
Все векторные диаграммы строятся в масштабе, как для токов, так и для напряжений. На комплексной плоскости оси координат обозначаются+1 и +j. Последовательность построения диаграмм зависит от схемы соединения электрической цепи. В любом случае первым откладывается вектор тока или напряжения, который является общим для возможно большего количества элементов цепи или ее части. Например, если элементы цепи R, L, C соединены последовательно, рис. 3.1 а, то «опорным» в диаграмме является вектор тока, как общий для всех элементов. Далее строятся векторы напряжений с учетом сдвига фаз между током и напряжениями на элементах (рис. 3.1 б). Геометрическая сумма векторов напряжений должна быть равна вектору напряжения, приложенному к электрической цепи.
а)
б)
Рисунок 3.1 - Электрическая цепь при последовательном соединении R, L, C элементов: а) схема; б) векторная диаграмма напряжения и токи
Если элементы цепи R, L, C соединены параллельно (рис. 3.2 а), то «опорным» в диаграмме является вектор напряжения, как общий для всех элементов. Далее строятся векторы токов с учетом сдвига фаз между напряжением и токами в ветвях цепи (рис. 3.2 б). Геометрическая сумма векторов токов в ветвях должна быть равна общему току в электрической цепи.
а)
б)
Рисунок 3.2 - Электрическая цепь при параллельном соединении R, L, C элементов
а) схема; б) векторная диаграмма токов и напряжений
Топографическая диаграмма напряжений представляет собой диаграмму комплексных потенциалов точек электрической цепи, отложенных в определенном порядке. Потенциал одной из точек принимается равным нулю и далее возможны два варианта построения:
-относительно этого потенциала рассчитываются потенциалы остальных точек;
-от этой точки откладываются модули напряжений на элементах с соответствующими углами сдвига фаз.
Порядок построения топографической диаграммы виден на простом примере (рис. 3.3 а и б)
а)
б)
Рисунок 3.3 - Схема электрической цепи (а) и соответствующая ей топографическая диаграмма (б)
В электрических цепях со смешанным соединением элементов топографическая диаграмма напряжений обычно строится в несколько этапов. При этом сначала строятся диаграммы для отдельных ветвей цепи, что предполагает наличие векторной диаграммы токов для всей цепи, а потом объединяются в общую топографическую диаграмму.
Расчет сопротивлений
Обычно сопротивления задаются, как в явной форме R = 5 Ом, так и в виде индуктивностей и емкостей L = 19,1 мГн или С = 99,5 мкФ. В случае индуктивных и емкостных сопротивлений расчет ведется следующим образом: