Приклад 1.1.Підприємство виготовляє вироби зі скла, зокрема, скляні міжкімнатні двері та двері до шаф-купе. При виготовленні виробів зі скла обов’язковоює обробка кромки скла, що запобігає порізам і травмам під час експлуатації виробів. Для досягнення найкращих результатів застосовують шліфування та полірування. Для виготовлення одних міжкімнатних дверей необхідно 4 год. шліфувати та 5 год. полірувати, а для дверей до щаф-купе – 2 год. шліфувати та 5 год.полірувати. У власності виробника 2 шліфувальні верстати та 3 полірувальні. Кожен шліфувальний верстат може працювати 40 год. щотижня, а кожен полірувальний – 60 год. щотижня. Попит на ринку значно перевищує виробничі можливості, тому вся виготовлена продукція гарантовано буде продана. Прибуток від продажу міжкімнатних дверей становить 3 г.о., а від продажу дверей до шаф-купе – 4 г.о. Як необхідно виробнику розподілити час роботи верстатів між видами продукції, щоб отримати максимальний тижневий прибуток?
Розв’язування:
Нехай – кількість міжкімнатних дверей, які буде виготовляти виробник;
– кількість дверей до шаф-купе, які буде виготовляти виробник.
Очевидно, що , , не повинні бути від’ємними.Виробник отримує прибуток 3 г.о. від продажу одних дверей, а вироблятиме двері в кількості х1, отже, від продажу всіх виготовлених дверей він отримає прибуток в розмірі , аналогічно від продажу одних дверей до шаф-купе він отримує 4 г.о., тоді від збуту всіх дверей до шаф-купе отримує . Отже, цільова функція максимізації загального обсягу прибутку виробника запишеться у такому вигляді
.
Якщо б не було обмежень, то прибуток міг би зростати як завгодно високо, але виробничі можливості підприємства обмежені наявним ресурсом часу роботи обладнання. В умові зазначено, що одні міжкімнатні двері необхідно шліфувати 4 год., а одні двері до шаф-купе – 2 год., тоді як шліфувальний верстат над виготовлення всього обсягу продукції може працювати не більше 40 год., а оскільки верстатів два, то отримуємо 80 год. роботи. Отже, обмеження на використання шліфувального верстату матиме вигляд:
.
Розглянемо використання полірувального верстату: одні міжкімнатні двері необхідно полірувати 2 год., а одні двері до шаф-купе – 5 год., всього полірувальний верстат може працювати 60 год., а їх три, тому отримуємо 180 год., отже, обмеження на використання полірувального верстату матиме вигляд:
.
Додавши умови невід’ємності змінних (бо кількість виготовленої продукції не може бути від’ємною), отримаємо модель: