Формула повної ймовірності

У разі, коли випадкова подія А може відбутися лише за умо-
ви, що відбудеться одна з несумісних випадкових подій В_і, які утворюють повну групу і між собою є попарно несумісними , імовірність події А обчислюється за формулою

, (27)

яка називається формулою повної ймовірності.

Випадкові події В₁, В₂, ... В_n називають гіпотезами.

Приклад 1. До складального цеху надходять деталі від трьох інших цехів. Від першого надходить 45% усіх деталей, від другого — 35% і від третього — 20%. Перший цех допускає в середньому 6% браку, другий — 2% і третій — 8%.

Яка ймовірність того, що до складального цеху надійде стандартна деталь?

Розв’язання. Позначимо через А появу стандартної деталі, В₁ — деталь надійде від першого цеху, В₂ — від другого, В₃ — від третього. За умовою задачі:

Р(В₁) = 0,45, Р(А / В₁) = 0,94;

Р(В₂) = 0,35, Р(А / В₂) = 0,98;

Р(В₃) = 0,2, Р(А / В₃) = 0,92.

Згідно з (27) маємо:

Р (А) = Р (В₁) Р (А / В₁) + Р (В₂) Р (А / В₂) + Р (В₃) Р (А / В₃) =
= 0,45 × 0,94 + 0,35 × 0,98 + 0,2 × 0,92 = 0,423 + 0,343 + 0,184 = 0,95.

Приклад 2. У ящику міститься 11 однотипних деталей, із них 7 стандартних, а решта браковані. Із ящика навмання беруть три деталі й назад не повертають. Яка ймовірність після цього вийняти навмання з ящика стандартну деталь?

Розв’язання. Позначимо через А подію, яка полягає в тому, що з ящика вийнято навмання одну стандартну деталь після того, як з нього було взято три. Розглянемо такі події:

В₁ — було взято три стандартні деталі;

В₂ — дві стандартні і одну браковану;

В₃ — одну стандартну і дві браковані;

В₄ — три браковані.

Обчислимо ймовірності гіпотез, а також відповідні їм умовні ймовірності Р (А / В_і) (і = 1, 2, 3, 4).

Р (В₁) = , ;

, ;

, ;

, .

Згідно з (27) дістанемо:

Р(А) = Р(В₁) Р(А / В₁) + Р(В₂) Р(А / В₂) + Р(В₃) Р(А / В₃) + Р(В₄) Р(А / В₄) =

.

Оскільки ,

то .

Формула Байєса

Застосовуючи формулу множення ймовірностей для залежних випадкових подій А, В_і (і = ), дістаємо

Р(А) Р(В_і / А) = Р (В_і) Р(А / В_і) →

→ . (28)

Залежність (28) називається формулою Байєса. Її використовують для переоцінювання ймовірностей гіпотез В_і за умови, що випадкова подія А здійсниться.

Після переоцінювання всіх гіпотез В_і маємо:

.

Згідно з формулою Байєса можна прийняти рішення, провівши експеримент. Але для цього необхідно, аби вибір тієї чи іншої гіпотези мав ґрунтовні підстави, тобто щоб унаслідок проведення експерименту ймовірність Р(В_і / А) була близька до одиниці.

Приклад 1. Маємо три групи ящиків. До першої групи належить 5 ящиків, у кожному з яких 7 стандартних і 3 браковані однотипні вироби, до другої групи — 9 ящиків, у кожному з яких 5 стандартних і 5 бракованих виробів, а до третьої — 3 ящики, у кожному з яких 3 стандартні й 7 бракованих виробів. Із довільно вибраного ящика три навмання взяті вироби виявилися стандартними.

Яка ймовірність того, що вони були взяті з ящика, який належить третій групі?

Розв’язання. Позначимо В₁, В₂, В₃ гіпотези про те, що навмання вибраний ящик належить відповідно першій, другій або третій групі. Обчислимо ймовірності цих гіпотез. Оскільки всього за умовою задачі 17 ящиків, то

; Р(В₃) = .

Позначимо через А появу трьох стандартних виробів. Тоді відповідні умовні ймовірності:

.

За умовою задачі необхідно переоцінити ймовірність гіпотези В₃. Використовуючи формулу (28), маємо:

.

Приклад 2. На склад надходять однотипні вироби з чотирьох заводів: 15% — із заводу № 1, 25% — із заводу № 2; 40% — із заводу № 3 і 20% — із заводу № 4.

Під час контролю продукції, яка надходить на склад, установлено, що в середньому брак становить для заводу № 1 — 3%, заводу № 2 — 5%, заводу № 3 — 8% і заводу № 4 — 1%.

Навмання взятий виріб зі складу виявився бракованим. Яка ймовірність того, що його виготовив завод №1?

Розв’язання. Позначимо В₁ гіпотезу проте, що виріб був виготовлений заводом № 1, В₂ — заводом № 2, В₃ — заводом № 3 і В₄ — заводом № 4. Ці гіпотези єдино можливі і несумісні. Нехай А — випадкова подія, що полягає в появі бракованого виробу.

За умовою задачі маємо:

Р(В₁) = 0,15, Р(В₂) = 0,25, Р(В₃) = 0,4, Р(В₄) = 0,2, Р(А/В₁) = 0,03, Р(А/В₂) = 0,05, Р(А/В₃) = 0,08, Р(А/В₄) = 0,01.

За формулою Байєса (28) переоцінюємо першу гіпотезу В₁:

= .

1. Випадкові події А і В називають залежними ...

2. Визначення умовної ймовірності.

3. В якому разі Р(А/В) = 0?

4. В якому разі Р(А/В) = 1?

5. Формула множення ймовірностей для двох залежних випадкових подій А і В має вигляд ...

6. Чому дорівнює , якщо випадкові події А_і є залежними?

7. Чому дорівнює Р(А∩В), якщо А і В є незалежними?

8. В якому разі Р(А/В) = Р(А), Р(В/А) = Р(В)?

9. Чому дорівнює , якщо випадкові події А і В є незалежними?

10. Формула для обчислення появи випадкової події хоча б один раз при n незалежних експериментах має вигляд ...

11. Гіпотези у формулі повної ймовірності та їх властивості.

12. Формула повної ймовірності випадкової події А за наявності n гіпотез В_і має вигляд ...

13. В якому разі використовується формула Байєса?

14. Для переоцінювання ймовірності В_і гіпотези формула Байєса має вигляд ...

15. В якому разі обирається гіпотеза В_і для прийняття рішення при проведенні експерименту?

16. Чому дорівнює , де В_і є гіпотези у формулі повної ймовірності?

Приклади до теми

1. Чому дорівнює Р(А / А)?

2. Чому дорівнює ?

3. Довести, що коли Р(А / В) = Р(А), то і Р(В / А) = Р(В).

4. Довести, що коли Р(А / В) = Р(А), то і .

5. Довести, що .

6. Коли А Ì В, то довести, що Р(А / В) = Р(А) / Р(В).

7. Коли В Ì А, то довести, що Р (А / В) = 1.

8. В урні міститься 9 червоних і 5 синіх кульок. Кульки з неї вий­маються по одній без повернення. Таким способом вийняли чотири кульки. Обчислити ймовірності таких випадкових подій: 1) А — з’явиться чотири червоні кульки; 2) В — чотири сині; 3) С — дві червоні й дві сині кульки.

Відповідь. .

9. Задано множину цілих одноцифрових чисел {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Навмання береться одне число, а потім друге, при цьому перше не повертається. Обчислити ймовірності таких випадкових подій: 1) А — здобуте двоцифрове число виявиться непарним; 2) В — здобуте двоцифрове число ділиться на 5 або на 2.

Відповідь. ; .

10. Прилад складається з трьох елементів, які працюють незалеж­но один від одного. Імовірність того, що перший елемент не вийде із ладу під час роботи приладу, є величиною сталою і дорівнює
р₁ = 0,9. Для другого і третього елементів ця ймовірність відповідно така: р₂ = 0,8, р₃ = 0,7. Обчислити ймовірність того, що під час роботи приладу з ладу вийде: 1) А — три елементи; 2) В — два елементи; 3) С — один елемент; 4) D — всі три елементи не вийдуть із ладу. З’ясувати, чи утворюють випадкові події А, В, С, D повну групу.

Відповідь. Р(А) = 0,006; Р(В) = р₁р₂q₃ + р₁q₂р₃ + q₁р₂р₃ = 0,398;

Р(С) = р₁q₂q₃ + q₁р₂q₃ + q₁q₂р₃ = 0,092;

Р(D) = 0,504. Випадкові події А, В, С, D утворюють повну групу.

11. Імовірність безвідказної роботи блока, що входить у систему впродовж певного часу дорівнює 0,9. Для надійності роботи системи встановлюється такий же блок, що буде знаходитись у резерві. Яка ймовірність безвідмовної роботи системи, коли при цьому враховувати резервний блок?

Відповідь. р = 0,99.

12. Радіолокаційна система, до якої входять дві станції, що працюють самостійно, виконує деяке завдання з виявлення літака-порушника повітряного простору України на певній ділянці кордону. Для виконання цього завдання необхідно, щоб у справному стані була хоча б одна радіолокаційна станція. Імовірність безвідказної роботи першої станції дорівнює 0,95, а другої 0,85. Система працюватиме надійно, якщо буде справною хоча б одна радіолокаційна станція. Знайти ймовірність цієї події.

Відповідь. р = 0,9925.

13. Робітник обслуговує три верстати-автомати, що працюють незалежно один від одного. Імовірність того, що протягом години перший верстат потребує уваги робітника дорівнює 0,9, для другого та третього верстатів ця ймовірність дорівнює відповідно 0,85 і 0,8. Яка ймовірність того, що протягом години уваги робітника потребують: 1) А — два верстати; 2) В — хоча б один із трьох?

Відповідь. Р(А) = р₁р₂q₃ + р₁q₂р₃ + q₁р₂р₃ = 0,329;

Р(В) = 0,997.

14. Радіоприймач із імовірностями р₁ = 0,9, р₂ = 0,1 може належати до однієї з двох партій. Імовірність того, що радіоприймач пропрацює заданий проміжок часу без ремонту для цих партій відповідно дорівнює 0,8 і 0,6. Яка ймовірність того, що радіоприймач пропрацює заданий проміжок часу?

Відповідь. р = 0,78.

15. На складання агрегату надходять деталі, які виготовляються двома верстатами-автоматами. Перший верстат виготовляє в середньому 0,2% бракованих деталей, а другий 0,1%. Знайти ймовірність надходження бракованої деталі на складання, якщо від першого верстата надійшло 2000 деталей, а від другого — 3000.

Відповідь.

16. В ящику міститься 20 тенісних м’ячів, із них 12 нових і 8, які були в користувані. Із ящика навмання беруть два м’яча і після закінчення гри повертають у ящик. Після цього із ящика навмання вибирають знову два м’яча для наступної гри. Обчислити ймовірності таких випадкових подій: 1) А — два м’ячі, що вийняли із ящика, ще не були в користуванні; 2) В — два м’ячі вже були в користуванні.

Відповідь. ;

.

17. У першому ящику міститься 6 стандартних і 5 бракованих деталей. Із першого ящика навмання беруть чотири деталі й перекладають у другий, в якому до цього містилося дві стандартні й одна бракована деталі. Яка ймовірність після цього із другого ящика вийняти одну стандартну деталь?

Відповідь. .

18. Відомі значення: Р(А) = 0,3, , Р(А / В) = 0,32.

Знайти: Р(А∩В), Р(А∩В), Р(В / А), .

Відповідь. Р(А∩В) = 0,128; Р(А В) = 0,572; ;

.

19. В урні міститься 4 зелених і 8 червоних кульок. Кульки із урни виймають по одній без повернення. Таким способом було вийнято три кульки. Обчислити ймовірності таких випадкових подій: 1) А — перша кулька буде червоною, друга — зеленою, третя — червоною; 2) В — перша кулька буде зеленою, друга — червоною, третя — зеленою.

Відповідь. 1) ; 2) .

20. Електролампочки з’єднані за схемою, зображеною на рис. 11.

Рис. 11

Імовірність того, що електролампочка не вийде з ладу при ввімкненні схеми в електричну мережу, є величиною сталою і дорівнює 0,9. Яка ймовірність того, що в електричній схемі, наведеної на рис. 11, при ввімкненні її в електричну мережу потече електричний струм?

Відповідь. Р = р⁴ (1 – q⁴) = 0,65633436.

21. Електролампочки з’єднані за схемою, зображеною на рис. 12.

Рис. 12

Імовірність того, що лампочка не перегорить при ввімкненні в електромережу є величиною сталою і дорівнює 0,8. Яка ймовірність того, що в схемі, якщо вона ввімкнено в електромережу, потече електричний струм?

Відповідь. Р = (1 – (1 – р₁ р₂ р₃) (1 – р₄ р₅) (1 – р₆ р₇)) ×
× ((1 – q₈ (1 –р₉ р₁₀) (1 – р₁₁ р₁₂)).

22. Маємо три урни. У першій міститься 8 білих і 2 чорних кульки, у другій — 5 білих і 5 чорних, у третій — 2 білих і 8 чорних. Навмання підкидають гральний кубик. Якщо випаде на грані число кратне 2, то навмання беруть дві кульки з першої урни, якщо випаде число кратне 5 — дві кульки з другої урни, і якщо випаде число, яке не буде кратним ні 2, ні 3 — дві кульки з третьої урни. Знайти ймовірність появи двох білих кульок у такому експерименті.

Відповідь. .

23. Прилад складається із двох вузлів № 1, і № 2, що дублюють один одного, і може працювати у двох режимах: сприятливому і несприятливому. У сприятливому режимі надійність кожного із узлів q₁ = 0,8, а в неспрятливому q₂ = 0,5. Імовірність того, що прилад працюватиме в сприятливому режимі Р₁ = 0,6, а в несприятливому режимі 1 – Р₁. Знайти надійність приладу R.

Відповідь. R = Р₁ (1 – q₁²) + (1 – Р₁)(1 – q₂²).

24. Деталь може надійти для обробки на перший верстат із імовір­ністю 0,2, на другий верстат — із імовірністю 0,3 і на третій — із імовірностю 0,5. При обробці деталі на першому верстаті ймовірність допустити брак дорівнює 0,01, на другому і третьому верстатах ця ймовірність відповідно дорівнює 0,05 і 0,08. Оброблені деталі вміщують в одну шухляду. Навмання взята звідти деталь виявилась бракованою. Яка ймовірність того, що її обробляв перший верстат?

Відповідь. .

25. Клапани, виготовлені цехом заводу, перевіряють три контролери. Імовірність того, що клапан потрапить на перевірку до першого контролера дорівнює 0,3, до другого — 0,5 і до третього — 0,2. Імовірність того, що бракована деталь буде виявлена для першого, другого і третього контролерів відповідно дорівнює 0,95, 0,9, 0,85. Під час повторної перевірки відбракованої деталі вона виявилась бракованою. Яка ймовірність того, що цю деталь перевіряв третій контролер?

Відповідь. .

26. Прилад складається із двох вузлів, що працюють незалежно один від одного. Робота кожного вузла необхідна для роботи приладу в цілому. Надійність (імовірність безвідказної роботи протягом часу t ) першого вузла Р₁ = 0,9; другого Р₂ = 0,8. Прилад випробовувався протягом часу t, і при цьому один з вузлів вийшов з ладу. Знайти ймовірність того, що відказав у роботі лише перший вузол, а другий був справним.

Відповідь. .

27. Відомо, що А∩В Ø. Довести, що

.

28. В урні міститься 3 червоних, 1 синя і 2 зелених кульок. Із урни кульки виймають по одній без повернення. Кульки виймають до першої появи червоної. Обчислити ймовірність цієї події.

Відповідь.

.

29. На вхід радіолокаційного пристрою із імовірністю Р = 0,9 надходить корисний сигнал із завадами, і з імовірністю 1 – Р = 0,1 — самі лише завади. Коли надходить корисний сигнал із завадами, то пристрій реєструє цей сигнал із імовірністю Р₁ = 0,8, якщо надходять лише завади, то із імовірністю Р₂ = 0,9. Відомо, що пристрій зареєстрував наявність якогось сигналу. Яка ймовірність того, що це корисний сигнал?

Відповідь. .

30. Пасажир для придбання квитка може звернутись до однієї з чотирьох кас. Відповідні ймовірності дорівнюють р₁ = 0,2, р₂ = 0,3, р₃ = 0,4, р₄ = 0,1. Імовірність того, що до моменту появи пасажира в касі буде квиток, дорівнює відповідно Р₁ = 0,6, Р₂ = 0,3, Р₃ = 0,8,
Р₄ = 0,5. Пасажир звернувся до однієї із кас і купив квиток. Яка ймовірність того, що квиток пасажир придбав у першій касі?

Відповідь. .

31. Для виготовлення деталі необхідно провести чотири незалеж­ні технологічні операції. Імовірність допустити брак при виконанні першої технологічної операції q₁ = 0,1, і для другої, третьої і четвертої ці ймовірності дорівнюють відповідно q₂ = 0,05, q₃ = 0,15, q₄ = 0,2. Яка ймовірність того, що виготовлена деталь виявиться стандартною?

Відповідь. p = р₁ р₂ р₃ р₄ = 0,5814.

32. Маємо k радіолокаційних станцій, кожна із них за один оберт антени може виявити літаючий об’єкт у повітрі із імовірністю Р (незалежно від інших обертів антени й інших станцій). За час t кожна станція здійснить m обертів антени. Знайти ймовірності таких випадкових подій:

1) А — літаючий об’єкт буде виявлено хоча б один раз;

2) В — об’єкт буде виявлено кожною станцією.

Відповідь. Р(А) = 1 – q^km; .

33. Імовірність появи випадкової події в кожному з незалежних експериментів є величиною сталою і дорівнює p. Скільки необхідно провести експериментів, щоб імовірність появи випадкової події хоча б один раз дорівнювала Р(с)?

Відповідь. .

34. Імовірність відказу в роботі кожного приладу при випробовуванні дорівнює 0,3. Скільки таких приладів необхідно взяти, щоб із імовірністю 0,99 дістати хоча б один відказ у роботі приладу?

Відповідь. n 13.

35. Троє робітників виготовляють однотипні деталі. Причому за зміну перший робітник виготовив у 1,5 раза більше, ніж другий, а другий в 1,8 раза менше, ніж третій. У середньому брак становить для першого робітника 4%, для другого і третього — 1 і 8%. Виготовлені деталі розміщують в одному ящику. Навмання взята одна деталь із ящика виявилась бракованою. Яка ймовірність того, що її виготовив другий робітник?

Відповідь. .

36. Чотири робітники виготовляють однотипні вироби. При цьому продуктивність праці цих робітників задовольняє таке відношення: 2 : 1,5 : 4 : 2,5. Відомо, що частка браку, % для першого, другого, третього та четвертого робітників дорівнює відповідно 1,5, 2,8, 2, 4,5. Після робочої зміни всі виготовлені робітниками вироби вміщують в один бункер. Навмання взятий виріб із бункера виявився стандартним. Яка ймовірність, що його виготував перший або третій робітник?

Відповідь. .

37. При вмиканні запалення мотор автомашини починає працювати із імовірностю Р = 0,9. Знайти ймовірності таких випадкових подій: 1) А — мотор почне працювати при другому вмиканні запалення; 2) для роботи мотора необхідно ввімкнути мотор не більше двох раз.

Відповідь. Р(А) = q р = 0,09; Р(В) = 1 – q² = 0,99.

38. В урні чотири білі й три чорні кульки. Два гравці почергово виймають із урни по кульці, не повертаючи їх до урни. Виграє той гравець, який раніше витягне білу кульку. Знайти ймовірність того, що виграє перший гравець.

Відповідь. .

39. Маємо три урни. У першій міститься 6 білих і 4 чорних кульки, у другій — 8 білих і 2 чорних і в третій — 1 біла й 1 чорна. Із першої урни навмання беруть 3 кульки, а із другої дві і перекладають у третю урну. Яка ймовірність після цього вийняти із третьої урни одну білу кульку?

Відповідь.

40. Завод виготовляє вироби, кожний із яких з імовірністю p = 0,01 має дефект. Вироби можуть потрапити на перевірку першому або другому контролерові. Імовірність того, що перший контролер виявить дефект у виробі, дорівнює p₁ = 0,85, для другого контролера ця ймовірність p₂ = 0,95. Якщо виріб не був забракований контролерами, то він надходить до ВТК заводу. Дефект, якщо він існує, може бути виявлений з імовірністю p₀ = 0,99. Яка ймовірність того, що після всієї процедури виріб було забраковано: 1) першим контролером; 2) ВТК?

Відповідь. 1)

2) .

41. В академічній групі 25 студентів, які складають екзамен з математики, із них 5 підготовлені відмінно, 10 — добре, 9 — задовільно і 6 — незадовільно. В екзаменаційних тестах міститься 10 питань. Відмінно підготовлений студент може відповісти на всі 10 запитань, добре підготовлений — на 7 запитань, задовільно підготов­лений — на 5 запитань і незадовільно підготовлений — на 3 запитання. Навмання викликаний студент відповів на всі три запитання. Знайти ймовірність того, що це був студент: 1) відмінно підготовлений; 2) незадовільно підготовлений.

Відповідь. 1) ;

2) .

Поиск по сайту: