Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Умовна ймовірність та її властивість



Залежні та незалежні випадкові події

Випадкові події А і В називають залежними, якщо поява однієї з них (А або В) впливає на ймовірність появи іншої.

У противному разі випадкові події А і В називаються неза-
лежними
.

Приклад 1. В урні міститься 10 однакових кульок, із них
6 чорних і 4 білих. З урни навмання беруть дві кульки по одній без повернення. З’ясувати, чи будуть залежними такі події: перша кулька виявиться чорною і друга також.

Розв’язання. Позначимо через А появу чорної кульки при першому вийманні, а через В — при другому. Випадкові події А і В будуть залежними, оскільки поява чорної кульки при першому її вийманні з урни (випадкова подія А) впливатиме на ймовірність появи чорної кульки (випадкова подія В) при другому вийманні.

Приклад 2. З урни, де шість білих і чотири чорні кульки, вийняли дві кульки по одній, при цьому перша кулька в урну повертається.

З’ясувати, чи будуть залежними такі події: перша виявиться чорною, друга також.

Розв’язання. Нехай А — поява чорної кульки при першому вийманні, а В — при другому. Поява чорної кульки при першому вийманні (здійснилась подія А) не впливатиме на ймовірність поя-
ви чорної кульки (подія В) при другому вийманні, оскільки співвідношення між чорними та білими кульками в цьому разі не змінюється.

Умовна ймовірність та її властивість

Якщо ймовірність випадкової події А обчислюється за умови, що подія В відбулася, то така ймовірність називається умовною. Ця ймовірність обчислюється за формулою

, . (17)

Аналогічно

, . (18)

1. Р (А / В) = 0, якщо АВ = Æ.

2. Р (А / В) = 1, якщо АВ = В.

3. У решті випадків 0 < Р(А / В) < 1.

Приклад 1. Задана множина цілих чисел. Ώ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. Навмання беруть одне число. Яка ймовірність того, що це число виявиться кратним 3, коли відомо, що воно є непарним?

Розв’язання. Нехай подія А — поява числа кратного 3, В — кратного 2.

Тоді А = (3, 6, 9, 12), m1 = 4;

В = (2, 4, 6, 8, 10, 12), m2 = 6;

АВ = (6, 12), m3= 2;

; ; ;
Р (А / В) = .

Оскільки , то події А і В є залежними.

Умовну ймовірність Р (А / В) для цієї задачі можна обчислити й інакше. За умовою задачі відомо, що взяте навмання число, є непарним, тобто в цьому разі ми дістали додаткову інформацію: із множини Ώ беруться лише непарні числа. Отже, простір елементарних подій тепер має вигляд

, .

Елементарні події, що сприяють появі А, — появі числа, кратного 3, утворюють множину , .

Отже,

.

Приклад 2. Відомі значення:

;

З’ясувати, чи є залежними випадкові події А і В.

Розв’язання.

.

Оскільки то випадкові події А і В є залежними.

3. Формули множення ймовірностей
для залежних випадкових подій

Згідно із (17) і (18) маємо:

Р (А В) = Р (В) Р (А / В) = Р (А) Р (В / А). (19)

Формула множення для n залежних випадкових подій А1,А2, … А4:

Р = Р (А1) Р(А2 / А1) Р(А3 / А1А2) … Р(Аn / А1А2Аn–1) (20)

Приклад 1. У ящику міститься 15 однотипних деталей. Із них 9 стандартні, а решта — браковані. Деталі виймають по одній без повернення. Так було вийнято три деталі. Обчислити ймовірності таких випадкових подій:

1) А — три деталі виявляться стандартними;

2) В — усі три виявляться бракованими;

3) С — дві стандартні й одна бракована.

Розв’язання. Нехай Аі — поява стандартної, — бракованої деталі при і-му вийманні.

Подія , ,

.

Оскільки випадкові події Аі, є залежними, то:

Р(А) = Р(А1А2А3) = Р(А1) Р(А2 / А1) Р(А3 / А1А2) = ;

.

.

Приклад 2. Із множини чисел Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} навмання беруть одне число, а далі з решти — друге. Яка ймовірність того, що здобуте двоцифрове число буде парним?

Розв’язання. Позначимо через А1 — поява непарної цифри при першому вийманні, через В1 — поява парної цифри при першому, а через В2 — появу парної цифри при другому вийманні.

Нехай С — випадкова подія: поява парного двоцифрового числа.

Тоді С = (А1В2) È (В1В2).

Оскільки випадкові події А1, В1, В2 є залежними, то

Р (С) = Р (А1В2) È (В1В2) = Р(А1В2) + Р (В1В2) =

= Р (А1) Р (В2 / А1) + Р (В1) Р (В2 / В1) = .

4. Формули множення ймовірностей
для незалежних випадкових подій

Якщо випадкові події А і В є незалежними, то Р(А / В) = Р(А), Р(В / А) = Р(В).

Формули (19), (20) наберуть такого вигляду:

Р(АВ) = Р(А) Р(В); (21)

. (22)

Приклад 1. Гральний кубик і монету підкидають по одному разу. Яка ймовірність того, що при цьому на грані кубика випаде число, кратне 3, а на монеті герб?

Розв’язання. Нехай поява числа, кратного трьом — подія А, а поява герба — подія В. Випадкові події А і В є між собою незалежними. Отже,

; .

Приклад 2. Три студенти складають на сесії екзамен з математики. Імовірність того, що перший складе екзамен, дорівнює 0,9, для другого та третього студентів ця ймовірність становить відповідно 0,8 і 0,7.

Обчислити ймовірності таких випадкових подій:

1) А — три студенти складуть екзамен;

2) В — три студенти не складуть екзамену;

3) С — два студенти складуть екзамен.

Розв’язання. Позначимо А1, А2, А3 — випадкові події, які полягають у тому, що перший, другий і третій студенти складуть екзамен з математики. Тоді — відповідно не складуть. За умовою задачі маємо:

Р(А1) = 0,9, Р(А2) = 0,8, Р(А3) = 0,7.

Тоді ймовірності протилежних подій такі:

Р( ) = 1 – Р(А1) = 1 – 0,9 = 0,1;

Р( ) = 1 – Р(А2) = 1 – 0,8 = 0,2;

Р( ) = 1 – Р(А3) = 1 – 0,7 = 0,3

Позначимо події: , ,

.

Оскільки випадкові події Аі, (і = 1, 2, 3) є між собою незалежними, то

Р(А) = Р(А1А2А3) = Р(А1) Р(А2) Р(А3) = 0,9 · 0,8 · 0,7 = 0,504;

Р(В) = Р( ) = Р( ) Р( ) Р( ) = 0,1 · 0,2 · 0,3 = 0,006;

.

5. Імовірність появи випадкової
події принаймні один раз при n
незалежних спробах

Нехай проводиться n незалежних спроб, у кожній з яких може відбутися подія Аі (і =1, 2, 3, ... n) з імовірністю Р(Аі) = pі або подія з імовірністю , .

Нехай С — поява події Аі хоча б один раз при n незалежних спробах, тобто ця подія може з’явитися або один раз, або двічі, тричі і так далі, включаючи всі n раз. Тоді подія С і подія, яка полягає в тому, що при n спробах Аі не з’явиться жодного разу , утворюють повну групу, а саме: . При цьому .

Тоді ;

.

Отже,

. (23)

Якщо Р(Аі) = pі = p = const, то qі = q = const.

Тоді

Р(С) = 1 – qn. (24)

Приклад 1. Прилад складається з чотирьох елементів, що працюють незалежно один від одного. Імовірність того, що перший елемент не вийде з ладу під час роботи приладу, є величиною сталою і дорівнює 0,95. Для другого, третього і четвертого елементів ця ймовірність дорівнює відповідно 0,9; 0,85; 0,8.

Яка ймовірність того, що під час роботи приладу з ладу не вийде хоча б один елемент?

Розв’язання. Нехай p1 = 0,95 — імовірність того, що перший елемент не вийде з ладу. Для другого, третього та четвертого елементів ця ймовірність становитиме відповідно p2 = 0,9; p3 = 0,85; p4 = 0,8. Імовірність того, що ці елементи вийдуть із ладу, дорівнюватиме відповідно:

q1 = 1 – p1 = 1 – 0,95 = 0,05;

q2 = 1 – p2 = 1 – 0,9 = 0,1;

q3 = 1 – p3 = 1 – 0,85 = 0,15;

q4 = 1 – p4 = 1 – 0,8 = 0,2.

На підставі (23) маємо:

Р(С) = 1 – q1 q2 q3 q4 = 1 – 0,05 × 0,1 × 0,15 × 0,2 = 1 – 0,00015 = 0,99985.

Приклад 2. Гральний кубик підкидається чотири рази. Чому дорівнює ймовірність того, що цифра 3 з’явиться при цьому хоча б один раз?

Розв’язання. Імовірність того, що при одному підкиданні з’явиться цифра 3, дорівнює . Тоді q = 1 – p = 1 – .

Згідно з (24) дістанемо:

Р(С) = 1 – q4 = .

6. Використання формул теорії
ймовірностей для оцінювання надійності
роботи простих систем

Оцінити надійність роботи системи, елементи якої з’єднані за схемою, наведеною на рис. 7.

Рис. 7

При цьому відомі ймовірності безвідмовної роботи кожного елемента pі (і = 1,…, n).

Позначивши надійність системи через R, дістанемо

. (25)

Оцінити надійність роботи системи, елементи якої з’єднані за схемою, наведеною на рис. 8.

Рис. 8

При цьому відомі ймовірності безвідмовної роботи кожного елемента рі (і = 1,…, n):

. (26)

Приклад. Електричні лампочки з’єднані за схемами, наведеними на рис. 9 і 10.

Імовірність того, що електролампочка не перегорить при ввімкненні в електромережу наведених схем, є величиною сталою і дорів­нює рі = 0,8.

Яка ймовірність того, що при ввімкненні в електромережу наведених схем у них буде електрострум?

Розв’язання. За відомим значенням рі знаходимо qі = 1 – рі = 1 – 0,8 =
= 0,2 (і = 1, 2, 3, 4).

а) R = ;

б) .

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.