Векторна алгебра, елементи лінійної алгебри

Обов’язкові завдання: 2.1, 2.2, 2.5, 2.6, 2.10, 2.11, 2.13, 2.14, 2.18, 2.20, 2.21.

Завдання 2.1.Задані дві координати X і Y вектора . Визначити його третю координату Z, якщо відомий модуль вектора .

1. X=4; Y= ; 3. X=6; Y=–2;

2. X=–4; Y=4; 4. X= ; Y=6;

Задані точки А і В. Знайти координати векторів і .

5. A(–2; –7;3)і B(3; –1;10). 6. A(–7;2; –4) і B(–2;8;3).

7. A(3; –5; –2)і B(8;1;5).

Визначити точку N, з якою співпадає кінець вектора , якщо його початок співпадає з точкою М.

8. =(3;10; –2), M=(5; –1; 12). 9. =(11;5; –3), M=( –3; 4; 13).

10. =( –1;7;18), M=(9;2; –8).

Заданий модуль вектора та кути і . Обчислити проекції вектора на координатні вісі.

11. 12.

13. 14.

Обчислити напрямні косинуси вектора .

15. =(1; –4; ). 16. =( –4; 2; 4).

17. =(–2; 6; 3). 18. =(6; ; 4).

Визначити, чи може вектор з координатними осями складати слідуючи кути.

19. 20.

21. 22.

Вектор складає з вісями ОХ та OZ кути та . Який кут він складає з віссю OY?

23. 24.

25. 26.

Вектор складає з осями ОХ та OY кути та . Обчислити координати вектора , якщо відомий його модуль =2.

27. 28.

29. 30.

Завдання 2.2.Вектори та створюють кут . Визначити та , якщо відомі модулі векторів та .

1. 2.

3. 4.

5. 6.

Задані модулі векторів , та . Визначити .

7. 8.

9. 10.

11. 12.

Вектори та взаємно перпендикулярні, задані їх модулі. Визначити та .

13. 14. 15.

16. 17. 18.

Задані модулі векторів та і кут між ними . Визначити та .

19. 20.

21. 22.

23. 24.

Визначити і , якщо відомі модулі векторів та .

25. 26.

27. 28.

29. 30.

Завдання 2.3.Перевірити колінеарність векторів та . Встановити який з них довше другого і у скільки раз, як вони направлені (в одну або в різні сторони).

1. =(1;3; –10), =(–2; –6;20). 2. =(10;34; –8), =(5;17; –4).

3. =(12;27; –9), =(–4; –9;3). 4. =(12;5; –5), =(–24; –10;10).

5. =(–5;10; –2), =(15; –30;6). 6. =(5; –13; –4), =(10; –26; –8).

7. =(–9;6;15), =(3; –2; –5). 8. =(2;–18;4), =(–1;9; –2).

Перевірити, чи слугують чотири точки А, В, С і D вершинами трапеції.

9. А( 6; –5; –3), В(–10; 3; 1), С( 7;–1; 6), D( 40; –13; 7).

10. А( 3; 4; –6), В( 9; –1; 2), С( 0; 2; –2), D( 30; –5; 6).

11. А( 2; 3; –10), В( 7; –5; 10), С( –3; 5;–14), D( 7; –2; 2).

12. А( –7; 1;–2), В( 20; 3; –7), С(–10; 9; 8), D( 3; –1; –7).

13. А( 6; 3; –2), В( 10; 5; –6), С( –16; –3; 4), D( –7; –1; 3).

14. А( –1; –7; 8), В( 7;–1; –4), С( 5; –6; –1), D( 5; 8; –1).

15. А( –2; –5; 5), В(10; 3; –3), С(1; 5;–2), D(–20; –1; 7).

Визначити, при яких значеннях α і β вектори і колінеарні.

16. ; .

17. ; .

18. ; .

19. ; .

20. ; .

21. ; .

22. ; .

23. ; .

Задані точки А, В, С і D. Перевірити, чи колінеарні вектори та ; встановити, який з них довше другого і у скільки раз; як вони направлені – в одну або в різні сторони.

24. А(–3;6;5), В(7;40;–13), С(1;–10;3), D(6;7;–1).

25. А(–6;3;4), В(6;30;–5), С(2;9;–1), D(–2;0;2).

26. А(–10;2;3), В(2;7;–2), С(10;7;–5), D(–14;–3;5).

27. А(–2;–7;1), В(–7;3;–1), С(–7;20;3), D(8;–10;9).

28. А(–2;6;3), В(3;–7;–1), С(–6;10;5), D(4;–16;–3).

29. А(8;–1;–7), В(–1;5;8), С(–4;7;–1), D(–1;5;–6).

30. А(5;–2;–5), В(7;–20;–1), С(–3;10;3), D(–2;1;5).

Завдання 2.4.Визначити модулі суми і різниці векторів та .

1. =(1;–2;0), = (2;–4;–2). 2. =(0;10;–20), =(–10;5;–10).

3. =(9;–6;–11), =(–17;7;15). 4. = (4;0; –1), =(–4;4;–2).

5. =(–3;5;–8), =(–1;1;–4) . 6. =(–2;0;1), =(–4;–2;2).

7. = (1;–3;5), =(–11;13;–10). 8. =(–6; –11;9), =(7;15;–17).

9. = (–4;5;1), =(–5;13;5) . 10. =(5;–8;–3), =(1;–4;–1).

11. = (6;–2;–2), =(–9;8;4) . 12. =(–3;5;1), =(13; –10;–11).жоафдловрво

13. = (4;0;8), =(8;–8;16). 14. =(5;1;–4), =(13;5;–5).

15. =(1;3;–7), =(–2; –1;5) . 16. =(–2;–2;6), =(8;4;–9).

17. . 18. .

19. . 20.

21. . 22.

23. . 24.

25. . 26.

27. . 28.

29. . 30.

Завдання 2.5.Задано розкладання вектора за базисом Визначити розкладання за цим базисом вектора , паралельного вектору та протилежного з ним напрямку, при умові, що відомий модуль вектора .

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13 14.

15 16.

17. 18.

19. 20.

21. 22.

23. 24.

25. 26.

27. 28.

29. 30.

Завдання 2.6.Задано чотири вектора та . Знайти розвинення вектора за базисом .

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

Завдання 2.7.Знайти орт вектора .

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10. 11. 12.

13. 14. 15.

16. 17. 18.

19. 20. 21.

22. 23. 24.

25. 26. 27.

28. 29. 30.

Завдання 2.8.

1. У трикутнику АВС Виразити через вектори та вектор (ВК АС, К АС).

2. У паралелограмі АВСD Виразити через вектори та вектор (DK BC, K ВС).

3. У ромбі АВСD Виразити через вектори та вектор (АК ВС, К ВС).

4.У трикутнику АВС Виразити через вектори та вектор (СК АВ, К АВ).

5. У трапеції ABCD Виразити через вектори та вектор (СК АD, К АD).

6. У трикутнику АВС Виразити через вектори та вектор (АК ВС, К ВС).

7. У трапеції ABCD Виразити через вектори та вектор (СК АB, К АB).

8. У ромбі АВСD Виразити

через вектори та вектор

(DК AВ, К AВ).

9. У рівнобедреному трикутнику АВС ^о, Виразити через вектори та вектор (ВD АС,

D АС).

10. У трапеції ABCD , Виразити через вектори та вектор .

11. У трапеції ABCD ,

Виразити через вектори та

вектор .

12. У трапеції ABCD ,

Виразити через вектори та вектор

13. У трапеції ABCD , Виразити через вектори та вектор .

14. У трикутнику АВС ^о, Виразити через вектори та вектор (ВN АС, N АС).

15. У трапеції АВСD , , . Виразити через вектори та вектор .

16. У трикутнику АВС , , . Виразити через вектори і вектор (СD _┴ АВ, D АВ).

17. У трапеції АВСD , , . Виразити через вектори та вектор .

18. У трикутнику АВС , , . Виразити через вектори та вектор (DА _┴ ВС, D ВС).

19. У трапеції АВСD , , . Виразити через вектори та вектор (DК _┴ АВ, К АВ).

20. У ромбі АВСD , , . Виразити через вектори та вектор

(АМ _┴ ВС, М ВС).

21. У трапеції АВСD , , . Виразити через вектори та вектор (СК _┴ АВ, К АВ).

22. У трикутнику АВС , , . Виразити через вектори

та вектор (СМ _┴ АВ, М АВ).

23. У паралелограмі АВСD , . Виразити через вектори та вектор (АМ _┴ DС, М DС).

24. У трапеції АВСD , . Виразити через вектори та вектор (DА _┴ АВ).

25. У трикутнику АВС , . Виразити через вектори та вектор (АК _┴ ВС, К ВС).

26. У трикутнику АВС , . Виразити через вектори і вектор (СК _┴ АВ, К АВ).

27. У паралелограмі АВСD , . Виразити через вектори та вектор (АМ _┴ DС, М DС).

28. У ромбі АВСD , . Виразити через вектори та вектор (ВМ _┴ DC, М DC).

29. У трикутнику АВС , . Виразити через вектори та вектор (BD _┴ АС, D АС).

30. У трапеції АВСD , . Виразити через вектори та вектор (DМ _┴ АВ, М АВ).

Завдання 2.9. Задані розкладання векторів , які слугують сторонами трикутника, за двома взаємно перпендикулярними ортами. Обчислити довжину медіани та висоти трикутника ABC.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

Завдання 2.10. Обчислити, яку роботу виконує сила , коли її точка прикладення, що рухається прямолінійно, переміщується з положення А в положення В.

1. =(3; – 2;6), A=(2; – 6; –1), B(– 3; – 5;2).

2. =(– 2;7; – 1), A=(– 4;4;3), B(2;– 5;– 4).

3. =(5; – 6; –1), A=(– 3;3; –2), B(1;5;3).

4. =(– 3;7; – 2), A=(– 8; – 1; 5), B(– 1;2;3).

5. =(8; – 3;7), A=(– 2; – 5;7), B(3;2;5).

6. =(– 2; – <