Система нормальних рівнянь для оцінки параметрів виробничої регресії Кобба-Дугласа

РОЗРАХУНКОВА РОБОТА №6

Дослідження нелінійної багатофакторної моделі

ВИРОБНИЧА РЕГРЕСІЯ

Хід роботи

1 На основі вихідних даних розрахувати значення параметрів виробничої регресії Кобба-Дугласа.

2 Перевірити знайдену модель на адекватність вихідним даним.

3 Знайти та пояснити значення частинних та сумарного коефіцієнтів еластичності.

4 Описати та пояснити довірчий інтервал для прогнозованого значення випуску продукції.

5 Побудувати рівняння та графік ізокванти для довільного значення випуску продукції.

6 Описати закони спадання граничної продуктивності праці та капіталу.

Теоретичні відомості

У сфері виробництва при аналізі кількісного спів­відношення показника і факторів у ролі показника можуть виступати: обсяг випущеної продукції, прибуток, товарообіг, рентабельність, собівартість одиниці продукції, фон­довіддача й інше. Факторами для цих показників можуть бу­ти: робоча сила, основні засоби або капітал, земля та її на­дра, продуктивність суспільної праці, рівень розвитку науки, техніки, освіти та інше.

У більш вузькому значенні під виробничою регресією ро­зуміють залежність між обсягом виробництва (індексом ви­робництва) і величиною різних виробничих ресурсів. У за­гальному вигляді виробнича регресія може бути записана так:

Y= F(Х₁, Х₂...., Х_n), (6.1)

де Y — обсяг виробленої продукції, а Х₁, Х₂, ... , Х_n – фак­тори, що визначають обсяг виробництва. Виробнича регресія може використовуватися як на мікрорівнях, так і на макрорівнях. У випадку макроекономічної виробничої рег­ресії народне господарство розглядається як єдина система, що функціонує по принципу «витрата-випуск».

При побудові і використанні моделі виробничої регресії слід пам'ятати, що результати обсягу виробництва згладжуються (усереднюються), разом з тим побудована модель дає можливість зробити якісний аналіз виробництва в цілому.

Одним з часткових випадків виробничої регресії є двофакторна виробнича регресія.

Y= F(Х₁, Х₂), (6.2)

Для з'ясування форми регресійного зв'язку введемо гіпотези. Будемо вважати, що виробнича регресія неперерв­на і двічі диференційована.

Гіпотеза 1. Якщо збільшується один із факторів X₁, абоХ₂при незмінному значенні іншого, то випуск продукції збільшується.

Зміна обсягу виробленої продукції за рахунок зміни од­ного з факторів X₁, X₂ математично виражаєтьсяяк частинна похідна по цьому фактору

Гіпотеза 2. Приріст виробленого продукту збільшується повільніше, ніж приріст витрат кожного із факторів. Іншими словами, приріст одного із факторів на одиницю викликає збільшення випуску продукції менше, ніж на одиницю.

Гіпотеза 3. Виробнича функція F(X₁, Х₂) є однорідною функцією відносно факторів X₁, X₂, з показником одно­рідності а. Це означає, що при одночасному збільшенні зна­чень факторів у l разів (будь-яке стале число) обсяг вироб­леної продукції збільшиться у l^a разів.

F(lX₁, lX₂)= l^aF(Х₁,Х₂,). (6.3)

Гіпотеза 4. На лінії постійного випуску еластичність праці та основних засобів є сталою додатною величиною.

На основі цих гіпотез отримано рівняння виробничої регресії Кобба-Дугласа:

Y=a₀X₁^a1X₂^a2. (6.4)

Система нормальних рівнянь для оцінки параметрів виробничої регресії Кобба-Дугласа

Нехай у результаті досліджень отримані такі статистичні дані Y_i, X_1i, X_2i (і =1, п), де Y_i — обсяг випуску продукції в i-му періоді (підприємстві), X₁ — чисельність робочої сили в цьому періоді, Х₂ — основний капітал за цей період. На ос­нові статистичних даних необхідно оцінити параметри ви­робничої регресії.

Геометричнo виробничу регресію можна зобразити як поверхню в тримірному просторі з координатами Х₁, Х₂, Y.

lnY = lna₀ + a₁ln X₁ + a₂ln X₂, (6.5)

a₀₁ = lna₀, Y₁ = lnY, Z₁ = lnX₁, Z₂ = lnX₂. (6.6)

Після цих перетворень отримаємо лінійну модель

Y₁ = a₀₁ + a₁Z₁ + a₂Z₂. (6.7)

Система нормальних рівнянь для цієї регресії має вигляд:

(6.8)

Для обчислення коефіцієнтів при невідомих а₀₁, a₁, a₂ iвільних членів зручно використовувати електронні таблиці.

Поиск по сайту: