Обчислення границь функцій

Перетворення виразів

Точна арифметика

MATLAB зазвичай виконує обчислення з числами, поданими в форматі плаваючої крапки з подвійною точністю. Це доволі висока точність, яка задовільняє більшість потреб в прикладних обчислювальних задачах. Однак є задачі, які потребують більш точного результату (задачі теорії чисел). Такі обчислення недуже вдало називають арифметикою довільної точності. Правильно говорити просто про точну арифметику.

Точною арифметикою називають обчислення, у яких всі числа результату є точними. В MATLAB т.а. реалізована в пакеті символьних обчислень.

>> digits(D) змінює кількість цифр при обчисленнях в точній арифметиці

>> digits

Digits=32 повертає кількість цифр за замовчуванням в точній арифметиці

Функція format впливає тільки на зображення на екрані!!!

Для того, щоб отримати результат на екрані саме такий, який є в пам'яті комп'ютера, використовують функцію vpa(variable precision arithmetic):

>>vpa(S) повертає результат обчислень змінної S з кількістю цифр, заданих функцією digits.

>>vpa(S,D) повертає результат обчислень змінної S з кількістю цифр, яка задано безпосередньо (D)

В точній арифметиці результат зберігається в символьному вигляді. Тип результату sym object (піктограма в робочій області інша). Кількість байт памяті, яку займає символьний об’єкт, залежить від значення digits.

Наприклад, якщо функцією digits задається 50 значущих цифр, то в памяті буде 126+2*50

Приклади:

>>vpa (exp(1),50)

ans=2.718281824590450907955982984276488423347473144531

>>exp(1)

ans=2.7183

>> format long

>> exp(1)

ans =

2.71828182845905 !15 цифр

>>vpa(pi,100)

або

>>digits(100)

>>vpa(pi)

Якщо просто >>pi , то буде працювати встановленний за замовчуванням формат.

>>vpa(pi, 5000)

>>vpa([2*pi exp(1) log(2)], 10)

ans=[6.283185308 2.718281828 .6931471806]

Питання: а чи не можна без функції vpa завжди виконувати обчислення з такою точністю? В принципі можна, але плата за це час і оперативна пам'ять.

В математичних виразах можуть використовуватися звичайні змінні таі символьні змінні.

>> a=2; b=4; a,b – звичайні змінні (поняття, відоме з систем програмування), яким присвоєні числові значення.

Якщо ввести вираз

>> (a-x)*(b-y) (1)

Буде виведено повідомлення про помилку

??? Undefined function or variable 'x'. (аналогічно Паскалю – невідома змінна. Але ми збираємося з введеним виразом виконувати не числові, а символьні дії – наприклад, розкрити дужки – перемножити)

>>x=sym(‘x’) створення одного символьного об’єкта

>>syms x y створення 2-х символьних об’єктів

В ході тривалого сеансу роботи користувач може забути, які змінні символьні. В принципі можна переглянути робочу область.

Є спеціальна функція, яка в виразі може виділяти символьні змінні:

findsym(s)– повертає в алфавітному порядку список всіх символьних змінних в виразі s. Якщо таких немає, повертає порожній рядок.

Приклади:

>> a=2; b=4;

>> findsym(a*x^2+b*y+z)

Якщо раніше була виконана функція >> syms x y z, то буде виведено

ans =

x, y, z

>> findsym(x+y*i)

ans =

x, y

Обчислення границь функцій

>>limit(F,x,a) обчислює границю функціїї Fза змінноюхв точці а

>>limit(F,x) обчислює границю функціїї F в нулі

>>limit(F,x,a,’right’)

>>limit(F,x,a,’left’) обчислює границю F в точці а зліва або справа

Приклади:

>> limit(sin(a*x)/(a*x)) тут

ans =

>> limit(sin(a*x)/x) тут

ans =

a

>> limit(2*sin(x)/x)

ans =

>> limit(2+sin(x)/x)

ans =

аналогічний результат отримаємо, якщо: >> limit(2+sin(x)/x,0)

ans =

>> limit(tan(x),pi)

ans =

>> limit(tan(x),pi/2)

ans =

NaN

>> limit(tan(x),x,pi/2,'right')

ans =

-inf

>> limit(tan(x),x,pi/2,'left')

ans =

inf

>> limit([sin(x)/x,(1+x)/(2+x)],x,0)

ans =

[ 1, 1/2]

>>

Обчислення похідних

diff(f)знаходить першу похідну функції fза змінною х. .

diff(f,n) знаходить похідну n-го порядку функції fза змінною х. .

diff(f,n,v)знаходить похідну n-го порядку функції fза змінною v.

difff(f,v,n) знаходить похідну n-го порядку функції fза змінною v.

Приклади:

>>syms x y;

1)>>diff(x^y)

ans=

x^y*y/x

2)>> diff(x^y,y)

ans =

x^y*log(x)

3)>> diff(sin(x*y),3)

ans =

-y^3*cos(x*y)

(перша похідна y*cos(yx)

друга похідна –y*y*sin(yx)

третя похідна –y*y*y*cos(y*x))

4)>> diff(sin(x*y),3,y)

ans =

-x^3*cos(x*y)

5)>>diff([x^3 sin(x) exp(x)])

ans=

[3*x^2 cos(x) exp(x)]

Обчислення інтегралів

int(f) знаходить невизначений інтеграл за змінною х.

int(f,v) знаходить невизначений інтеграл за змінною v.

int(f,a,b) обчислює визначений інтеграл з межами інтегрування від а до b.Межі інтегрування можуть числовими або символьними змінними.

int(f,v,a,b) обчислює визначений інтеграл з межами інтегрування від а до b.

Приклади:

>>int(sin(x)^3,x)

ans=

-1/3*sin(x)^2*cos(x)-2/3*cos(x)

>>int(log(2*x),x)

ans=log(2*x)*x-x

>> int(sin(2*x)*cos(3*x))

ans =

cos(x)/2 - cos(5*x)/10

>> int(1/(2*sin(x)-cos(x)))

ans =

-(5^(1/2)*log(tan(x/2 - atan(1/2)/2)))/5

>> int((x^2-2)/(x^3-1),x,1,2)

ans =

-inf

>> int((x^2-2)/(x^3-1),x,2,5)

Виникає проблема. Отримуємо не числову відповідь, а комбінацію функцій, яка фактично не піддається або слабо піддається спрощенню.

ans =

-2/3*log(2)+2/3*log(31)+2/3*3^(1/2)*atan(11/3*3^(1/2))-2/3*log(7)-2/3*3^(1/2)*atan(5/3*3^(1/2))

>> int([x^3,sin(x),exp(x)],x)

ans =

[ 1/4*x^4, -cos(x), exp(x)]

За допомогою функції int можна також обчислювати кратні інтеграли або невласні інтеграли (Які мають аналітичний розвязок, тобто в принципі беруться)

>> int(x*exp(-x),x,0,inf) ans =1

>> int(int(int((x^2+y^2)*z,x,0,a),y,0,a),z,0,a) ans =1/3*a^6

Перед обчисленням потрібно виконати команду, яка задає символьні змінні. Це можна зробити за допомогою однієї команди

>>syms a x y z

Поиск по сайту: