Коли сукупність спостережень невелика, то розглянутий метод 1 застосовувати неможливо.
Тоді Гольдфельд і Квандт розглянули випадок, коли , тобто дисперсія залишків зростає пропорційно квадрату однієї із незалежних змінних моделі:
.
Вони запропонували для виявлення наявності гетероскедастичності параметричний тест, в якому треба виконати наступні кроки.
Крок 1. Упорядкувати спостереження згідно з величиною елементів вектора xj.
Крок 2. Відкинути c спостережень, які будуть знаходитись у центрі вектора. На оcнові експериментальних розрахунків автори вирахували оптимальні співвідношення між параметрами і n, де — кількість елементів вектора xj.
.
Крок 3. Побудувати дві економетричні моделі на основі 1МНК по двох створених сукупностях спостережень за умови, що перевищує кількість змінних m.
Крок 4. Знайти суму квадратів залишків за першою (1) і другою (2) моделях S1 і S2.
, де — залишки по моделі (1) ;
, де — залишки по моделі (2).
Крок 5. Розрахувати критерій R:
,
який при виконанні гіпотези про гомоскедастичність буде відповідати F-розподілу з , ступенями свободи. Це означає, що розраховане значення R*порівнюється з табличним значенням -критерію при ступенях свободи і і вибраному рівні довіри. Якщо табл , то гетероскедастичність відсутня.
Непараметричний тест Гольдфельда—Квандта
Гольфельд і Квандт запропонували також для оцінки наявності гетероскедастичності непараметричний тест. Цей тест базується на числі піків у величині залишків після упорядкування спостережень по xij.
Тест Глейсера
Ще один тест для перевірки гетероскедастичності запропонував Глейсер: розглядати регресію абсолютних значень залишків , які відповідають регресії найменших квадратів як деяку функцію від , де є тією незалежною змінною, яка відповідає зміні дисперсії . Для цього використовуються такі види функцій:
1) ;
2) ;
3) і т.п.
Рішення про відсутність гетероскедастичності залишків приймається на основі статистичної значущості коефіцієнтів й . Переваги цього тесту визначаються можливістю розрізняти випадок чистої і змішаної гетероскедастичності. Чистій гетероскедастичності відповідають значення параметрів , ; а змішаній — , . Залежно від цього треба користуватись різними матрицями . Нагадаємо, що:
.
Якщо при економетричному моделюванні для певних вихідних даних буде виявлено явище гетероскедастичності, то оцінку параметрів моделі треба виконувати на основі узагальненого методу найменших квадратів. Оператор оцінювання цим методом запишеться:
,
де
.
В даній матриці залежно від висунутої гіпотези:
або ;
або ;
або .
Прогноз на основі економетричної моделі, в якій оцінка параметрів виконана узагальненим методом найменших квадратів, можна отримати на основі такого співвідношення:
,
де u — вектор залишків, який відповідає оцінці параметрів моделі на основі 1МНК;
— транспонований вектор коваріацій поточних і прогнозних значень залишків;