Геометричний закон розподілу ймовірностей

Інколи спроби здійснюють до першої появи випадкової події. Число проведених спроб буде цілочисловою випадковою величиною. Цілочислова випадкова величина Х має геометричний закон розподілу, якщо ймовірності її можливих значень

, k = 1, 2, 3, …, n.

Тут p — імовірність появи випадкової події в кожній спробі — є величиною сталою, q = 1 – p.

У табличній формі геометричний закон розподілу такий:

					...
					...

При перевірці умови нормування використовується формула суми нескінченної геометричної прогресії, тому й закон розподілу називають геометричним:

Побудуємо ймовірнісну твірну функцію

.

Числові характеристики для цього закону:

.

;

.

Серед дискретних випадкових величин лише геометричному закону притаманна властивість відсутності післядії. Це означає, що ймовірність появи випадкової події в k-му експерименті не залежить від того, скільки їх з’явилося до k-го, і завжди дорівнює p.

Приклад. Гральний кубик підкидається до першої появи цифри 6. Визначити М(Х), D(X), s(Х) для випадкової величини Х числа здійснюваних підкидань.

Розв’язання. Випадкова величина Х є цілочисловою, що має геометричний закон розподілу ймовірностей. За умовою задачі: p = ; q = .

Дістанемо:

; ; .

Приклад. Спортсмен стріляє зі спортивної рушниці по одній і тій самій мішені. Імовірність влучити в мішень при одному пострілі є величиною сталою і дорівнює 0,8. Стрільба по мішені ведеться до першого влучення. Визначити М(Х), D(X), s(Х) випадкової величини Х — числа витрачених спортсменом набоїв.

Розв’язання.Випадкова величина Х є цілочисловою, з геометричним законом розподілу ймовірностей. За умовою задачі: p = 0,8; q = 0,2.

Маємо:

; ; .

Рівномірний закон розподілу ймовірностей.

Цілочислова випадкова величина Х має рівномірний закон розподілу, якщо ймовірності її можливих значень обчислюються за формулою:

.

У табличній формі запису рівномірний закон розподілу має вигляд:

				...	n

Умова нормування виконується.

Імовірнісна твірна функція для цього закону

, або .

Числові характеристики рівномірного закону:

.

Приклад.Знайти М(Х), D(X), s(Х), якщо цілочислова ви­падкова величина Х має рівномірний закон розподілу і можливі значення її такі:

.

Розв’язання.За умовою задачі маємо: n = 100, P_k = 1/100. Дістаємо:

.

.

.

Поиск по сайту: