Распределение Пуассона и экспоненциальное распределение

Существует много других распределений вероятности, которые полезны в статистических исследованиях. В этом разделе кратко описаны два таких распределения и показано, как их можно применять в конкретных ситуациях деловой жизни.

Распределение Пуассона

Распределение Пуассона, подобно биномиальному распределению, связано с подсчетом количества наступления некоторого события. Отличие состоит в том, что в случае распределения Пуассона нет заданного числа возможных попыток п. Вот один из примеров возникновения такой случайной величины. Если некоторое событие происходит случайно и независимо в каждой из попыток и среднее число наступлений события с ростом числа попыток не изменяется, то коли­чество наступлений события в фиксированном количестве попыток будет подчиняться распределению Пуассона. Распределение Пуассона — это распределение дискретной величины, которое зависит только от ожидаемого среднего количества наступлений события.

Приведем примеры некоторых случайных величин, которые могут иметь распределение Пуассона.

1. Количество заказов, которые фирма получит завтра.

2. Количество людей, которые обратятся завтра в отдел кадров компании.

3. Количество дефектов в произведенной продукции.

4. Количество звонков в фирму в течение следующей недели с просьбой помочь разобраться с “простой в сборке” игрушкой.

5. Биномиально распределенная величина X при больших п и малых π.

На приведенных ниже рисунках показано, распределение вероятностей случайных величин, имеющих распределение Пуассона, при ожидании в среднем 0,5 наступлений соответствующего случайной величине события (рис. 7.5.1), ожидании 2 наступлений событий (рис. 7.5.2) и ожидании 20 наступлений события (рис. 7.5.3). Обратите внимание на то, что форма распределения Пуассона, показанная на рис 7.5.3, подобна колоколообразной форме нормального распределения. Это свидетельствует о том, что в случае ожидания наступления большого количества событий распределение Пуассона приближается к нормальному.

Распределение Пуассона имеет три существенные особенности, знание которых позволяет находить вероятности, если известно только среднее значение случайной величины.

Для распределения Пуассона:

1. Стандартное отклонение всегда равно корню квадратному из среднего значения σ =

2. Вероятность того, что имеющая распределение Пуассона случайная величина Х со средним значением µ равна а, выражается формулой

Р(Х=а) = , е = 2,71828…..

3. При больших средних значениях распределение Пуассона близко к нормальному распределению.

Пример. Количество возвратов товара по гарантии

Фирма работает с товарами очень высокого качества, благодаря чему каждый день ожидается возврат на гарантийный ремонт (в среднем) только 1,3 единицы товара. С какой вероятностью завтра в гарантийный ремонт не поступит ни одного изделия? Какова вероятность возврата одного изделия? Двух? Трех? Поскольку среднее значение (1,3) очень мало, вероятности необходимо вычислять с использованием точной формулы для распределения Пуассона. Вот эти вычисления:

Р(Х = 0) = е^-1,3 * 1,3⁰/0! = 0,27253 * 1/1 = 0,27253;

Р(Х = 1) = е^-1,3 * 1,3¹/1! = 0,27253 * 1,3/1 = 0,35429;

Р(Х = 2) = е^-1,3 * 1,3²/2! = 0,27253 * 1,69/2 = 0,23029;

Р(Х = 3) = е^-1,3 * 1,3³/3! = 0,27253 * 2,197/6 = 0,09979;

Зная эти основные вероятности, можно сложить вероятности возврата 0, 1 и 2 изделий, чтобы вычислить вероятность того, что в гарантийный ремонт поступят 2 или менее изделий. Вероятность такого события равна: 0,27253 + 0,35429 + 0,23029 = 0,857, или 85,7%.

Для вычисления этих вероятностей с использованием Excel применяется функция- =ПУАССОН.РАСП(значение; среднее; ложь), которая вычисляет вероятность того, что случайная переменная, имеющая распределение Пуассона со средним значением µ, принимает некотороеконкретное значение а , а также функция =ПУАССОН.РАСП(значение; среднее; истина), вычисляющая вероятность того, что значение имеющей распределение Пуассона случайной переменной будет меньше или равно значению а.

Пример. Количество телефонных звонков

В среднем в фирму поступает в день 460 телефонных звонков. В предположении, что количество звонков подчиняется распределению Пуассона, найдем вероятность того, что завтрашний день окажется перегруженным, т.е. телефонных звонков окажется 500 или более.

Среднее значение дано в условии. Стандартное отклонение составляет = 21,44761. Поскольку среднее значение достаточно велико, для данного распределения можно в качестве приближения использовать нормальное распределение. Нормальное распределение — непрерывное, любое значение, превышающее 499,5, — будет округляться до числа 500 и более. Нормированное количество обращений равно:

z = (499,5 - 460)/21,44761 = 1,84.

Воспользовавшись таблицей стандартного нормального распределения вычисляем искомую вероятность: 1 - 0,967 =0,033. Таким образом, вероятность того, что завтрашний день окажется перегруженным, составляет всего лишь около 3% (т.е. такое событие не очень правдоподобно).

Поиск по сайту: