Решение задач на вычисление вероятности при нормальном распределении

Типичная словесно поставленная, проблема, при решении которой используется нормальное распределение, представляет собой описание ситуации деловой жизни, в которой известны значения среднего и стандартного отклонения. Задача заключается в поиске одной или нескольких представляющих интерес вероятностей. Вот пример подобной словесно сформулированной задачи.

Руководство компании Simplified Technologies, Inc. заявило о том, что прогнозирование объемов продаж оказывается, как правило, неверным. Объем продаж за последний квартал прогнозировался на уровне $18 000 000, однако достигнутый объем составил $21 300 000. На следующий квартал прогнозируется объем продаж в $20 000 000 со стандартным отклонением (которое следует из предыдущего опыта работы) в $3 000 000. В предположении о том, что объем продаж имеет нормальное распределение с центром в прогнозируемом значении, необходимо найти вероятность того, что следующий квартал окажется «действительно неудачным», чему соответствует объём продаж, меньший $15 000 000.

Начало приведенного рассказа описывает сцену, на которой разворачивается действие. Первые приведенные числа (18 и 21,3 млн.) описывают предыдущие события и не играют роли в нашей задаче. Внимание следует обратить на следующие факты:

1. В рассматриваемой задаче присутствует нормальное распределение.

2. Его среднее значение µ = $20 000 000.

3. Его стандартное отклонение σ = $3 000 000.

4. Необходимо найти вероятность того, что объем продаж окажется ниже

$15 000 000 – х.

Следующий шаг состоит в том, чтобы пронормировать все эти значения (за исключением среднего и стандартного отклонения), что позволит использовать для поиска ответа таблицу вероятностей для стандартного распределения. Нормированное значение (часто его обозначают z) представляет собой число стандартных отклонений от среднего в большую (если нормированное значение положительное) или меньшую (если нормированное значение отрицательное) сторону. Это преобразование выполняется следующим образом:

z = Нормированное значение =

В приведенном примере значение 15 000 000 нормируется следующим образом:

z = = (15-20)/3 = -1,67.

Это означает, что в данном случае величина $15 000 000 соответствует z = - 1,67 стандартным отклонениям ниже среднего (прогнозируемого) значения. Таким образом, мы преобразовали исходную задачу в следующую задачу вычисления вероятности для стандартного нормального распределения.

Найти вероятность того, что имеющая стандартное нормальное распределение величина окажется меньше z = -1,67.

По таблице находим ответ на поставленный вопрос.

Вероятность того, что квартал окажется действительно неудачным, составляет 0,0475, или приблизительно 5%.

Вот и хорошо. Похоже, что вероятность действительно неудачного квартала не очень велика. Однако вероятность 5% тоже не следует недооценивать.

Рис. 7.3.6 и 7.3.7 иллюстрируют вычисление вероятности в терминах объемов продаж в долларах и в терминах нормированных значений (количествах стандартных отклонений от среднего в сторону больших или меньших значений).

Рис. 7.3.6. Вероятность того, что квартал действительно окажется неудачным (объем продаж меньше $15 000 000), представлена заштрихованной областью под кривой. Результат основан на прогнозируемом объеме продаж $20 000 000 и стандартном отклонении $3 000 000. Задача решена нормированием и последующим применением таблицы вероятностей для стандартного нормального распределения

Рис. 7.3.7. Вероятность того, что квартал окажется действительно неудачным, представленная с использованием нормированного значения объема продаж. Это вероятность отклонения объема продаж от среднего, более чем на z = -1,67 величин стандартного отклонения в сторону уменьшения. Результат равен 0,0475

Эта задача оказывается достаточно простой, поскольку ответ можно найти непосредственно из таблицы вероятностей для стандартного нормального распределения. Ответ на вопрос, приведенный ниже, требует больших усилий.

Для описанной выше задачи о прогнозировании объема продаж найти вероятность “действительно удачного квартала”, который определяется как такой, в котором объем продаж превышает $24 000 000.

Первый шаг на пути к ответу состоит в нормировании объема продаж: значению $24 000 000 соответствует z = (24 - 20)/3 = 1,33 величины стандартного отклонения от среднего в сторону превышения. Таким образом, необходимо дать ответ на следующий вопрос.

Найти вероятность того, что имеющая стандартное нормальное распределение случайная величина окажется больше z = 1,33.

Из правила дополнительности известно, что необходимая нам вероятность равна единице минус вероятность того, что случайная величина окажется меньше z=1,33. Находим в таблице вероятность, соответствующую 1,33, и вычисляем результат.

Вероятность действительно удачного квартала = 1 - 0,9082 = 0,0918, или примерно 9%.

Эта вероятность с использованием нормированных значений показана на рис. 7.3.8.

Рассмотрим еще одну задачу.

Для описанной выше задачи на прогнозирование объема продаж найти вероятность «типичного квартала», который определяется как соответствующий объему продаж от $16 000 000 до $23 000 000.

Прежде всего пронормируем оба приведенных в условии значения. После этого задача примет следующий вид.

Найти вероятность того, что имеющая стандартное нормальное распределение величина принимает значения между z₁ = -1,33 и z₂ = 1,00.

Для того чтобы найти ответ на поставленный в условии этой задачи вопрос, необходимо найти в таблице вероятность, соответствующую каждому из этих нормированных значений, а затем найти разность этих значений. Необходимо следить за тем, чтобы вычиталось меньшее значение из большего, а не наоборот — тогда результат будет положительным и его действительно можно будет интерпретировать как вероятность.

Вероятность типичного квартала = 0,8413-0,0918 = 0,7495, или примерно 75%.

Эта вероятность е использованием нормированных значений показана на рис. 7.3.9.

И, наконец, еще одна, несколько отличающаяся от предыдущих, задача.

Для описанной выше задачи о прогнозировании объема продаж найти вероятность «необычного квартала», который определяется как соответствующий объему продаж, либо меньших $16 000 000, либо больших $23 000 000,

В этом случае речь идет о вероятности непопасть между двумя указанными значениями. Если воспользоваться правилом дополнительности, чтобы найти ответ, можно просто вычесть из единицы вероятность, вычисленную в предыдущее случае, — вероятность того, что объем продаж попадёт в область между этими же двумя числами. При этом получаем следующий результат:

Вероятность необычного квартала = 1 - 0,7495 = 0,2505, или примерно 25%.

Эта вероятность с использованием нормированных значений показана на рис. 7.3.10.

Поиск по сайту: