возникает неопределенность вида . Метод раскрытие данной ситуации неопределенности непосредственно зависит от того, какой вид имеют общие члены числовых последовательностей . В случае возникновения ситуации неопределенности числовые последовательности являются бесконечно-большими:
.
1. Предположим сначала, что числовые последовательности таковы, что их общие члены есть многочлены степеней соответственно относительно натуральной переменной :
В этом случае для раскрытия неопределенности необходимо вынести за скобки в числителе и знаменателе дроби общий множитель
,
где – наибольшее из степеней . После вынесения сократить дробь на этот множитель и произвести оценку полученного предела, учитывая, что последовательности являются бесконечно малыми:
.
Пример 1. Вычислить предел (раскрыть неопределенность ):
Решение
В пределе имеем неопределенность , числовые последовательности заданы общими членами (многочленами относительно )
Выносим за скобки в числителе и знаменателе дроби общий множитель ( ). Пользуясь теоремами о сходящихся последовательностях, получим
Учитывая, что последовательности есть бесконечно малые числовые последовательности ( ), а
,
окончательно получаем
Пример 2. Вычислить предел (раскрыть неопределенность ):
Решение
В пределе имеем неопределенность , числовые последовательности заданы общими членами (многочленами относительно )
Выносим за скобки в числителе и знаменателе дроби общий множитель ( ). Получаем
Учитывая, как и прежде, что последовательности есть бесконечно малые числовые последовательности ( ), а
,
окончательно получаем
Вообще, можно доказать, что
2. Предположим теперь, что числовые последовательности таковы, что их общие члены задаются при помощи факториалов от натуральной переменной .
Напомним, что факториалом натурального числа называется произведение всех последовательных натуральных чисел от 1 до :
,
Замечание. Для определенности считают, что .
При решении задач будем пользоваться следующим свойством факториала:
,
.
Рассмотрим конкретные примеры.
Пример 3. Вычислить предел (раскрыть неопределенность ):
Решение
Для раскрытия неопределенности сначала выделим в числителе и знаменателе дроби общий множитель – факториал с наименьшим номером. Используя свойство
,
получим:
Затем вынесем за скобки общий множитель , сократим на него дробь и запишем ответ:
.
Пример 4. Вычислить предел (раскрыть неопределенность ):
Решение
Для раскрытия неопределенности сначала выделим в числителе и знаменателе дроби общий множитель – факториал с наименьшим номером. Для этого используем свойства факториала:
,
.
Итак, получаем
.
Затем выносим за скобки общий множитель , сократим на него:
.
В полученном пределе вновь возникает неопределенность . Числитель и знаменатель дроби есть многочлены относительно переменной . Выносим за скобки общий множитель (см. пункт 1 данного практикума), сокращаем на него и получаем ответ
.
3. Пусть обе числовые последовательности таковы, что их общие члены содержат показательные выражения вида
.
Для раскрытия неопределенности рекомендуется в числителе и знаменателе дроби вынести общим множителем показательное выражение
,
где есть наибольшее из всех оснований показательных выражений.
После вынесения выражения и сокращения на него воспользоваться действиями над сходящимися последовательностями. При этом учесть, что в пределе возникнут бесконечно малые последовательности.
Пример 5. Вычислить предел (раскрыть неопределенность ):
Решение
Для раскрытия неопределенности вынесем в числителе и знаменателе дроби общий множитель
,
который является показательным выражением с наибольшим основанием из оснований 2 и 3:
Далее учитываем (см. лекция №2), что числовая последовательность с общим членом