Возрастание и убывание функции

Функция f(x) называется возрастающей в интервале (a,b), если при

возрастании аргумента x в этом интервале соответствующие значения функции f(x)

также возрастают, т.е. если

f(x₂) > f(x₁) при x₂ > x₁.

Функция f (x) называется убывающей в интервале ( a, b ) если при возрастании аргумента x в этом интервале соответствующие значения функции f (x) убывают, т.е. если

f(x₂) < f(x₁) при x₂ > x₁.

Из этого определения следует, что у убывающей в интервале ( a, b ) функции f (x) в любой

точке этого интервала приращения Dx и Dy имеют разные знаки.

Экстремумы функций

Слово «экстремум» значит крайний. Точкой экстремума называется такая точка, в которой

функция принимает крайние значения: наибольшее или наименьшее.

Критической точкой функции называется такая точка ее области определения, в которой

производная функции обращается в нуль или не существует. Критические точки функции, в

которых она меняет возрастание на убывание или убывание на возрастание,

называются точками экстремума.

Если в точке экстремума функция меняет убывание на возрастание, то в этой точке достигается

наименьшее значение хотя бы на небольшом участке ее области определения. Говорят, что

такая точка является точкой локального минимума.

Если в точке экстремума функция меняет возрастание на убывание, то в этой точке достигается

наибольшее значение хотя бы на небольшом участке ее области определения. Говорят, что

такая точка является точкой локального максимума.

Асимптота

Определение (основное). Прямая называется асимптотой к кривой, если точка этой кривой неограниченно приближается к асимптоте при удалении точки по кривой в бесконечность.

Определение. Если для функции выполняется, что

тогда прямая

называется вертикальной асимптотой к функции .

Определение. Если существуют конечные пределы:

то прямая

называется горизонтальной асимптотой к функции .

Определение. Если существуют конечные пределы:

и

тогда у функции существует наклонная асимптота

18)первообразные и неопределенные интегралы

Неопределенным интегралом называется функция F(x) + C, содержащая произвольное постоянное C, дифференциал которой равенподынтегральному выражению f(x)dx, т.е. или Функцию называют первообразной функции . Первообразная функции определяется с точностью до постоянной величины.

Задача нахождения неопределенного интеграла заключается в нахождении такой функции,производная которой равняется подынтегральному выражению. Данная функция определяется с точностью до постоянной, т.к. производная от постоянной равняется нулю.

Например, известно, что , тогда получается, что , здесь - произвольная постоянная.

Пусть функция задана на некотором интервале . Если найдётся такая функция , что при всех имеет место равенство

то функция называется первообразной для функции .

интегрирования – операции, обратной дифференцированию.

19)таблица интегралов

1.
где

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

Здесь C - произвольная постоянная, т.к. производная от постоянной есть нуль, следовательно, неопределённый определяется с точностью до постоянной.