Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Производная сложной и обратной функции



Теорема

при

 

 

4)Предел функции

Пусть функция f (x) определена на некотором открытом интервале [b,c], содержащим точку x = a. (При этом не требуется, чтобы значение f (a) было обязательно определено.)

Число A называется пределом функции f (x) при , если для любого существует такое , что выполняется

при условии

Данное определение предела известно как - определение или определение Коши.

Существует также определение предела функции по Гейне, согласно которому функция f (x)имеет предел A в точке x = a, если для каждой последовательности , сходящейся к точке a, последовательность сходится к A.

 

5)Число е ,замечательный предел

Числом e называется предел

Это число иррациональное и приближенно равно е = 2.718281828.... Логарифмы с основанием е называются натуральными и обозначаются

Данный предел называют вторым замечательным пределом.

Многие примеры сводятся с помощью простых хамен ко второму замечательному пределу.

Рассмотрим несколько примеров решения на второй замечательный предел.

Пример 1 - найти предел используя второй замечательный предел

Найти предел:

Решение.

Преобразуем предел:

Используя свойства пределов , а конкретно, что если функция непрерывна в точке a, то , получим:

Замечаем, что можно применить второй замечательный предел и получаем ответ.

Исходный предел равен: .

 

6)

.

 

при этом предел знаменателя -- это первый замечательный предел, равный 1 (и, следовательно, не равный 0). Числитель правой части, равный 1, имеет предел 1. Значит, по теореме о пределе отношения,

 

8)Непрерывность функции, разрывы

Пусть функция f(x) определена на некотором множестве Е и х0 – предельная точка множества Е.

Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если

1. Она определена в точке х0

Существует конечный предел

3. Этот предел равен значению функции в точке х0.

Иначе говоря, функция у=f(x) называется непрерывной в точке, если бесконечно малому приращению аргумента в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции, то есть

Разрывность функции

Итак, если хотя бы одно из трех условий непрерывности не выполняется, функция называется разрывной в точке х0, а сама точка x0-точкой разрыва. Если в точке x0 оба односторонних предела существуют и конечны, то разрыв называется разрывом первого рода. Пусть х0-точка разрыва первого рода, т.е.

Возможны два случая

1. f(x0+0)=f(x0-0)=L, но либо функция f(x) не определена в точке х0, либо f(x0) # L (то есть не выполнено либо первое либо третье условие непрерывности). В этом случае разрыв называется устранимым, так как если доопределить функцию в точке х0 или переопределить ее, положив f(x0)=L, функция f(x) станет непрерывной в точке х0.

оба односторонних предела существуют, конечны и равны.

2. f(x0- 0) ¹ f(x0+0) B этом случае разрыв называется неустранимым.

Если же хотя бы один из односторонних пределов f(x0+0) или f(x0-0) не существует или бесконечен, то разрыв называется разрывом второго рода. Разрыв второго рода всегда неустранимый.

Если в точке х0 функции f(x) и g(x) непрерывны, то в этой же точке непрерывными являются и функции

9)Производная ,геом смысл

Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке). Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — интегрирование.

 

 

Если функция имеет конечную производную в точке x0, то в окрестности U(x0) её можно приблизить линейной функцией

Функция fl называется касательной к f в точке x0. Число является угловым коэффициентом или тангенсом угла наклонакасательной прямой.

Дифференциал

Дифференциал+ (от лат. differentia — разность, различие) — линейная часть приращения функции.

Обычно дифференциал функции f обозначается df.

Для функций

Дифференциал функции в точке может быть определён как линейная функция

где f'(x0) обозначает производную f в точке x0.

Таким образом df есть функция двух аргументов .

Дифференциал может быть определён напрямую, т.е., без привлечения определения производной как функция линейно зависящая от h и для которой верно следующее соотношение

Таблица производных

Доказательство

y = xn. Если n – целое положительное число, то, используя формулу бинома Ньютона:

(a + b)n = an+n·an-1·b + 1/2∙n(n – 1)an-2b2+ 1/(2∙3)∙n(n – 1)(n – 2)an-3b3+…+ bn,

Можно доказать, что

Итак, если x получает приращение Δx, то f(xx) = (x + Δx)n, и, следовательно,

Δy=(xx)nxn =n·xn-1·Δx + 1/2·n·(n–1)·xn-2·Δx2 +…+Δxn.

Заметим, что в каждом из пропущенных слагаемых есть множитель Δx в степени выше 3.

Найдем предел

Производная сложной и обратной функции

Производная сложной функции
 
"Двухслойная" сложная функция записывается в виде где u = g(x) - внутренняя функция, являющаяся, в свою очередь, аргументом для внешней функции f. Если f и g - дифференцируемые функции, то сложная функция также дифференцируема по x и ее производная равна Данная формула показывает, что производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную от внутренней функции. Важно, однако, что производная внутренней функции вычисляется в точке x, а производная внешней функции - в точке u = g(x)!
  Пример 1
   
Найти производную функции . Решение. Поскольку , то по правилу производной сложной функции получаем     Обратная Рассмотрим функцию y = f(x), для которой существует обратная функция x = g(y). Теорема 5. Если обратная функция x = g(y) дифференцируема и g'(y) 0, то функцияy=f(x) дифференцируема, и Доказательство Если аргумент x получит приращение Δx, то функция f получит приращение Δy = f(x + Δx) − f(x). С другой стороны, для обратной функции g приращения Δx, Δy связаны следующим образом: Δx=g(y + Δy) − g(y). Тогда получаем 13)Теоремы Теорема 1. Теорема Ро́лля утверждает, что если функция, имеющая производную на интервале, принимает в его концах равные значения, то её производная обращается в нуль в некоторой точке внутри интервала. (Теорема Ролля) Пусть функция f(x) 1. непрерывна на отрезке [a, b]; 2. дифференцируема в интервале (a, b); 3. на концах отрезка [a, b] принимает равные значения. Тогда существует точка c Î (a, b) такая, что f'(c) = 0. Теорема 2. (Теорема Лагранжа) Пусть функция f(x) 1. непрерывна на отрезке [a, b]; 2. дифференцируема в интервале (a, b). Тогда существует точка с Î (a, b) такая, что  
  f(b) − f(a) = f '(c) · (ba) . (1)

 

Формула (1) называется формулой Лагранжа, или формулой конечных приращений

 

Теорема 3. (Теорема Коши) Пусть функции f(x) и g(x)

1. непрерывны на отрезке [a, b];

2. дифференцируемы в интервале (a, b);

3. "x Î (a, b) g'(x) ≠ 0 .

Тогда существует точка c Î (a, b) такая, что

 

   
f(b) − f(a)
g(b) − g(a)

=

f '(c)
g '(c)

.

(3)

 

Формула (3) называется формулой Коши.

Правило Лопиталя

Пусть при x a для функций f ( x ) и g ( x ), дифференцируемых в некоторой окрестности точки а , выполняются условия:

Эта теорема называется правилом Лопиталя. Она позволяет вычислять пределы отношения функций, когда и числитель, и знаменатель cтремятсялибо к нулю, либо к бесконечности. Правило Лопиталя, как говорят математики, позволяет избавляться от неопределённостей типа: 0 / 0 и / .

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.