Производная сложной и обратной функции

Теорема

при

4)Предел функции

Пусть функция f (x) определена на некотором открытом интервале [b,c], содержащим точку x = a. (При этом не требуется, чтобы значение f (a) было обязательно определено.)

Число A называется пределом функции f (x) при , если для любого существует такое , что выполняется

при условии

Данное определение предела известно как - определение или определение Коши.

Существует также определение предела функции по Гейне, согласно которому функция f (x)имеет предел A в точке x = a, если для каждой последовательности , сходящейся к точке a, последовательность сходится к A.

5)Число е ,замечательный предел

Числом e называется предел

Это число иррациональное и приближенно равно е = 2.718281828.... Логарифмы с основанием е называются натуральными и обозначаются

Данный предел называют вторым замечательным пределом.

Многие примеры сводятся с помощью простых хамен ко второму замечательному пределу.

Рассмотрим несколько примеров решения на второй замечательный предел.

Пример 1 - найти предел используя второй замечательный предел

Найти предел:

Решение.

Преобразуем предел:

Используя свойства пределов , а конкретно, что если функция непрерывна в точке a, то , получим:

Замечаем, что можно применить второй замечательный предел и получаем ответ.

Исходный предел равен: .

6)

.

при этом предел знаменателя -- это первый замечательный предел, равный 1 (и, следовательно, не равный 0). Числитель правой части, равный 1, имеет предел 1. Значит, по теореме о пределе отношения,

8)Непрерывность функции, разрывы

Пусть функция f(x) определена на некотором множестве Е и х₀ – предельная точка множества Е.

Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если

1. Она определена в точке х₀

Существует конечный предел

3. Этот предел равен значению функции в точке х_0.

Иначе говоря, функция у=f(x) называется непрерывной в точке, если бесконечно малому приращению аргумента в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции, то есть

Разрывность функции

Итак, если хотя бы одно из трех условий непрерывности не выполняется, функция называется разрывной в точке х₀, а сама точка x₀-точкой разрыва. Если в точке x₀ оба односторонних предела существуют и конечны, то разрыв называется разрывом первого рода. Пусть х₀-точка разрыва первого рода, т.е.

Возможны два случая

1. f(x₀+0)=f(x₀-0)=L, но либо функция f(x) не определена в точке х₀, либо f(x₀) # L (то есть не выполнено либо первое либо третье условие непрерывности). В этом случае разрыв называется устранимым, так как если доопределить функцию в точке х₀ или переопределить ее, положив f(x₀)=L, функция f(x) станет непрерывной в точке х₀.

оба односторонних предела существуют, конечны и равны.

2. f(x₀- 0) ¹ f(x₀+0) B этом случае разрыв называется неустранимым.

Если же хотя бы один из односторонних пределов f(x₀+0) или f(x₀-0) не существует или бесконечен, то разрыв называется разрывом второго рода. Разрыв второго рода всегда неустранимый.

Если в точке х₀ функции f(x) и g(x) непрерывны, то в этой же точке непрерывными являются и функции

9)Производная ,геом смысл

Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке). Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — интегрирование.

Если функция имеет конечную производную в точке x₀, то в окрестности U(x₀) её можно приблизить линейной функцией

Функция f_l называется касательной к f в точке x₀. Число является угловым коэффициентом или тангенсом угла наклонакасательной прямой.

Дифференциал

Дифференциал+ (от лат. differentia — разность, различие) — линейная часть приращения функции.

Обычно дифференциал функции f обозначается df.

Для функций

Дифференциал функции в точке может быть определён как линейная функция

где f'(x₀) обозначает производную f в точке x₀.

Таким образом df есть функция двух аргументов .

Дифференциал может быть определён напрямую, т.е., без привлечения определения производной как функция линейно зависящая от h и для которой верно следующее соотношение

Таблица производных

Доказательство

y = xⁿ. Если n – целое положительное число, то, используя формулу бинома Ньютона:

(a + b)ⁿ = aⁿ+n·a^n-1·b + 1/2∙n(n – 1)a^n-2∙b²+ 1/(2∙3)∙n(n – 1)(n – 2)a^n-3b³+…+ bⁿ,

Можно доказать, что

Итак, если x получает приращение Δx, то f(x+Δx) = (x + Δx)ⁿ, и, следовательно,

Δy=(x+Δx)ⁿ – xⁿ =n·x^n-1·Δx + 1/2·n·(n–1)·x^n-2·Δx² +…+Δxⁿ.

Заметим, что в каждом из пропущенных слагаемых есть множитель Δx в степени выше 3.

Найдем предел

Производная сложной и обратной функции

Производная сложной функции

"Двухслойная" сложная функция записывается в виде где u = g(x) - внутренняя функция, являющаяся, в свою очередь, аргументом для внешней функции f. Если f и g - дифференцируемые функции, то сложная функция также дифференцируема по x и ее производная равна Данная формула показывает, что производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную от внутренней функции. Важно, однако, что производная внутренней функции вычисляется в точке x, а производная внешней функции - в точке u = g(x)!

	Пример 1
Найти производную функции . Решение. Поскольку , то по правилу производной сложной функции получаем     Обратная Рассмотрим функцию y = f(x), для которой существует обратная функция x = g(y). Теорема 5. Если обратная функция x = g(y) дифференцируема и g'(y) ≠ 0, то функцияy=f(x) дифференцируема, и Доказательство Если аргумент x получит приращение Δx, то функция f получит приращение Δy = f(x + Δx) − f(x). С другой стороны, для обратной функции g приращения Δx, Δy связаны следующим образом: Δx=g(y + Δy) − g(y). Тогда получаем 13)Теоремы Теорема 1. Теорема Ро́лля утверждает, что если функция, имеющая производную на интервале, принимает в его концах равные значения, то её производная обращается в нуль в некоторой точке внутри интервала. (Теорема Ролля) Пусть функция f(x) 1. непрерывна на отрезке [a, b]; 2. дифференцируема в интервале (a, b); 3. на концах отрезка [a, b] принимает равные значения. Тогда существует точка c Î (a, b) такая, что f'(c) = 0. Теорема 2. (Теорема Лагранжа) Пусть функция f(x) 1. непрерывна на отрезке [a, b]; 2. дифференцируема в интервале (a, b). Тогда существует точка с Î (a, b) такая, что     f(b) − f(a) = f '(c) · (b − a) . (1)   Формула (1) называется формулой Лагранжа, или формулой конечных приращений   Теорема 3. (Теорема Коши) Пусть функции f(x) и g(x) 1. непрерывны на отрезке [a, b]; 2. дифференцируемы в интервале (a, b); 3. "x Î (a, b) g'(x) ≠ 0 . Тогда существует точка c Î (a, b) такая, что       f(b) − f(a) g(b) − g(a) = f '(c) g '(c) . (3)   Формула (3) называется формулой Коши.

Правило Лопиталя

Пусть при x a для функций f ( x ) и g ( x ), дифференцируемых в некоторой окрестности точки а , выполняются условия:

Эта теорема называется правилом Лопиталя. Она позволяет вычислять пределы отношения функций, когда и числитель, и знаменатель cтремятсялибо к нулю, либо к бесконечности. Правило Лопиталя, как говорят математики, позволяет избавляться от неопределённостей типа: 0 / 0 и / .

12Следующая ⇒

 

Поиск по сайту: