Предел функции в бесконечности

Пределы и непрерывность

Предел числовой последовательности

Определение. Если по некоторому закону каждому натуральному числу n поставлено в соответствие определенное число a_n, то говорят, что задана числовая последовательность {a_n}:

.

Другими словами, числовая последовательность – это функция натурального аргумента: .

Числа называются членами последовательности, а число a_n – общим членом данной последовательности.

Примеры: 2,4,6,8,…,2n,…- монотонная, неограниченная.

1,0,1,0,… - немонотонная, ограниченная.

- немонотонная, ограниченная. Рассмотрим эту последовательность подробнее. Изобразим ее члены точками числовой оси.

Можно заметить, что члены последовательности с ростом n сколь угодно близко приближаются к 1. При этом абсолютная величина разности становится все меньше и меньше:

, , , ,…, ,…,

то есть с ростом n величина будет меньше любого сколь угодно малого положительного числа.

Определение. Число А называется пределом числовой последовательности {a_n}, если для любого сколь угодно малого положительного числа найдется такой номер N (зависящий от e), что для всех членов последовательности с номерами n>N верно неравенство

.

Записывают это следующим образом: или a_n ® A при n®¥.

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае - расходящейся.

Геометрический смысл предела числовой последовательности состоит в том, что точки a_n, начиная с некоторого номера n>N, лежат внутри интервала (A-e, A+e), т.е. попадают в какую угодно малую e-окрестность точки а.

Предел функции в бесконечности

Понятие предела функции является обобщением понятия предела последовательности, так как предел последовательности можно рассматривать как предел функции x_n = f(n) целочисленного аргумента n.

Пусть дана функция f(x) и пусть A - предельная точка области определения этой функции D(f), т.е. такая точка, любая окрестность которой содержит точки множества D(f), отличные от A. Точка A может принадлежать множеству D(f), а может и не принадлежать ему.

Определение. Число А называется пределом функции y=f(x) при x®¥, если для любого сколь угодно малого положительного числа e>0 найдется такое положительное число S>0 (зависящее от e), что для всех x, таких, что , верно неравенство

.

Этот предел обозначается .

Геометрический смысл: неравенство равносильно двойному неравенству , соответствующему расположению части графика в полосе шириной 2e.

Поиск по сайту: