Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Неопределенный интеграл



Предел

Функция y = f(x) имеет пределом число А при стремлении х к а, если для каждого числа е>0 найдется такое число δ>0, что |y— A|<е, при | х —a|<δ
Математическая запись предела
Предел постоянной величины
Предел суммы (разности) конечного числа функций
Предел частного двух функций
Предел произведений конечного числа функций при lim f(x) и lim φ(x) и lim ф(x) ≠0
  замечательный предел:
замечательный предел:

Производная.

Производной функции f(x)называется предел отношения приращения функции Δу=f(x+Δx)-f(x) к приращению аргумента Δх=x-x0 в точке хпри стремлении Δх к нулю. Процесс нахождения производной называется дифференцированием, поэтому выражение «продифференцировать функцию» равносильно выражению «найти производную функции».:
Математическая запись производной
Производная функции y = f(x): имеет физический смысл (в том числе механический) мгновенной скорости процесса
Производная функции y = f(x): имеет геометрический смысл. Угловой коэффициент касательной к графику функции в данной точке равен значению ее производной в точке касания. В этом и состоит геометрический смысл производной
   
Общее правило дифференцирования. При дифференцировании функции (нахождении ее производной) придерживаются следующие схемы: 1) выбрав некоторое значение х, дают ему приращение и находят значение функции в точке х + Dх, равное f(x + Dx); 2) определяют приращение функции: Df = f(x + Dx)-f(x); 3) составляют отношение Df / Dx и, если возможно, упрощают его; 4) находят производную функции, то есть предел отношения приращения функции Δу=f(x+Δx)-f(x) к приращению аргумента Δх=x-x0 в точке хпри стремлении Δх к нулю т.е. если этот предел существует.  
Таблица производных элементарных функций Производная постоянной величины у=С: ý= 0;
Производная степенной функции у = хμ: ý=μxμ-1
Производная показательной функции у = аx: в частности, если у = ех ý=axlna; ý= еx;
Производная логарифмической функции y=logax
Производная натурального логарифма у = lnх
Производная тригонометрической функции y=sinx y'=cosx;
Производная тригонометрической функции y=cos x ý =- sin x;
Производная тригонометрической функцииy = tgx  
Производная тригонометрической функцииy = ctgx
Производная обратной тригонометри ческой функции y=arcsinx
Производная обратной тригонометри-ческой функции y=arccosx
Производная обратной тригонометри-ческой функции y=arctgx
Производная обратной тригонометри-ческой функции y=arcctgx
Производная суммы (разности) функций y = w±u y' = u'±v'
Производная произведения двух функций y=uv y' = u'v + v'u.
Производная частного двух функций y=u/v
Производная сложной функции y = f1(u), если u = f2(x), у'x = у'иu'x
Производная неявной функции При задании функции в неявном виде F(х, у)=0 можно рассматривать левую часть равенства F(x, у) как некоторую сложную функцию х и дифференцировать обе части равенства, имея при этом в виду, что у есть функция от х, обращающая соотношение F(x, у) =0 в тождество.  
Производные второго и высших порядков Производная yx'=f '(x) от функции y=f(x) тоже является функцией от х; и также может быть дифференцируема. Производная от производной называется производной вто­рого порядка или просто второй производной. y''=f ''(х)=( f '(х)) '= Производная от производной вто­рого порядка называется производной третьего порядка и т.д. yn= =( fn-1(х)) '
Частные производные функции нескольких переменных z = f(x,y). Частные производные первого порядка. Частной производной первого порядкафункции z = f(x,y) по аргументу х в рассматриваемой точке (х; у) называется предел если он существует. Частная производная функции z = f(x, y) по аргументу х обозначается одним из следующих символов: Аналогично частная производная по у обозначается и определяется формулой: Так как частная производная – это обычная производная функции одного аргумента, то ее нетрудно вычислить. Для этого нужно пользоваться всеми рассмотренными до сих пор правилами дифференцирования, учитывая в каждом случае, какой из аргументов принимается за «постоянное число», а какой служит «переменной дифференцирования»
Применение производных для исследования функций  
Условие возрастания функции y = f(x)на отрезке [а, b] f '(x)>0  
Условие убывания функции y=f(x)на отрезке [а, b] f '(x)<0  
Условие максимума функции y=f(x)при x= а f '(a)=0 и f '' (a)<0  
Условия функции экстремума Если при х=а производные f '(а) = 0 и f "(а) = 0, то необходи­мо исследовать f '(x)в окрестностях точки x = а. Функция у=f(х)при х=а имеет максимум, если при переходе через точку х= а производная f '(x)меняет знак с «+» на «-», в случае минимума — с « - » на «+» .Если f '(x)не меняет знака при переходе через точку х = а,то в этой точке экстремума функ­ции нет

Дифференциал функции.

1. Дифференциал независимой переменной равен ее приращению: dx=Δx
2. Дифференциал функции y=f(x) dy = у' Δх Дифференциал функции y=f(x) главная часть приращения функции т.е. dy= у' Δх ≈Δy=f(x+Δx)-f(x)±e Δx т.к. ±e Δx→0
3. Дифференциал суммы (разности) двух функций y=u±v dy=du±dv
4. Дифференциал произведения двух функций у=uv dy = vdu+udv.
5. Дифференциал частного двух функций y=
Применение дифференциала в приближенных вычислениях
Приращение функции через дифференциал Δy = f(x + Δx) - f(x) ≈ dy ≈ f'(x) • Δx где Δx: — приращение аргумента
Приближенное вычисление значения функции: f(x + Δx) ≈ f(x) + f '(x) • Δx
Дифференциал применяется для вычисления абсолютной и отно­сительной погрешностей при косвенных измерениях u = f(x, у, z .). Абсолютная погрешность результата измерения
Относительная погрешность результата измерения  
Частные дифференциалы функции двух независимых переменных  
  Частным дифференциалом функции z= f(xj у) по х называется главная часть частного приращения dxf, пропорциональная приращению Δх независимой пере­менной. По аналогии с дифференциалом функции одной переменной частные дифференциалы функции f(x, у) по х ; и по у будут равны:
Полный дифференциал функции двух независимых переменных
  Полный дифференциал функции двух независимых пере­менных равен сумме ее частных дифференциалов Аналогично полный дифференциал функции многих неза­висимых переменных для функции u=f(x, у, z, ... , t) будет иметь вид

 

Неопределенный интеграл

Функция F(x),имеющая данную функцию f(x)своей производной или f(x)dxсвоим дифференциалом, называется первообразной данной функции f(x).
Совокупность всех первообразных функций для дифференциала f(x)dxназывается неопределенным интегра­лом и обозначается символом ∫ f(x)dx. -символ ∫ - называется интегралом; - f(x) –называется подинтегральной функцией; - f(x)dx - называется подинтегральным выражением и равно дифференциалу первообразной.
Свойства неопределенного интеграла 1. ∫f(x)dx=F(x)+C 2. ∫[f(x)+φ(x)]dx=∫ f(x)dx+∫φ(x)dx 3. ∫ d(F(x))=F(x)+C 4. (∫f(x)dx)=f(x) 5. ∫f(x)dx= ∫f(t)dt 6. d∫f(x)dx=f(x)dx 7. ∫af(x)dx=a∫f(x)dx  
Основные интегралы Интеграл (n≠-1)
Интеграл
Интеграл
Интеграл ∫exdx =ex+C
Интеграл ∫sin x dx =-cos x +C
Интеграл ∫cos xdx =sin x +C
Интеграл
Интеграл
Интеграл ∫dx =х+С  
Интеграл  
Интеграл
Интеграл  
Интеграл
Интеграл ∫tgxdx =Lncosx+C
Интеграл ∫ctgxdx =- Lnsinx+C
Интегрирование по частям ∫ udv = uv—∫ vdu.  
Найти у = Ln хdх. Полагаем и=Lпх, dv = dx, тогда , v = x Используя формулу интегрирования по частям, получаем у = ∫ Lnxdx = x Lnх-∫ dх = xLn-x+C  
Интегрирование методом замены переменных Найти у= ∫x (1+ 2x2)dx Заменим l+2x2=z, подставим замену в интеграл, тогда сократим подобные члены получим Возвращаясь к прежней переменной х, окончательно имеем

 

Определенный интеграл

Интегральная сумма ∑f(ki)Δxi ( от i=1 до n ) где ki произвольная точка соответствующего отрезка
Определенный интеграл функции f(x) на отрезке [а, b]
Формула Ньютона — Лейбница ,где F(a) и F(b) первообразная функции f(x)при замене х на а и b , т е F′(x)=f(x)  
свойства определенного интеграла
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x), осью абсцисс и прямыми х=а и х=b,
Площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми y=.f1(x)и у = f2(x) [ f'2(x)≥f1(x)]и двумя прямыми х=а и х=b,

 

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.