Неопределенный интеграл

Предел

	Функция y = f(x) имеет пределом число А при стремлении х к а, если для каждого числа е>0 найдется такое число δ>0, что |y— A|<е, при | х —a|<δ
	Математическая запись предела
	Предел постоянной величины
	Предел суммы (разности) конечного числа функций
	Предел частного двух функций
	Предел произведений конечного числа функций при lim f(x) и lim φ(x) и lim ф(x) ≠0
	замечательный предел:
	замечательный предел:

Производная.

	Производной функции f(x)называется предел отношения приращения функции Δу=f(x+Δx)-f(x) к приращению аргумента Δх=x-x0 в точке хпри стремлении Δх к нулю. Процесс нахождения производной называется дифференцированием, поэтому выражение «продифференцировать функцию» равносильно выражению «найти производную функции».:
	Математическая запись производной
	Производная функции y = f(x): имеет физический смысл (в том числе механический) мгновенной скорости процесса
	Производная функции y = f(x): имеет геометрический смысл. Угловой коэффициент касательной к графику функции в данной точке равен значению ее производной в точке касания. В этом и состоит геометрический смысл производной
	Общее правило дифференцирования. При дифференцировании функции (нахождении ее производной) придерживаются следующие схемы: 1) выбрав некоторое значение х, дают ему приращение Dх и находят значение функции в точке х + Dх, равное f(x + Dx); 2) определяют приращение функции: Df = f(x + Dx)-f(x); 3) составляют отношение Df / Dx и, если возможно, упрощают его; 4) находят производную функции, то есть предел отношения приращения функции Δу=f(x+Δx)-f(x) к приращению аргумента Δх=x-x0 в точке хпри стремлении Δх к нулю т.е. если этот предел существует.
	Таблица производных элементарных функций Производная постоянной величины у=С: ý= 0;
	Производная степенной функции у = хμ: ý=μxμ-1
	Производная показательной функции у = аx: в частности, если у = ех ý=axlna; ý= еx;
	Производная логарифмической функции y=logax
	Производная натурального логарифма у = lnх
	Производная тригонометрической функции y=sinx y'=cosx;
	Производная тригонометрической функции y=cos x ý =- sin x;
	Производная тригонометрической функцииy = tgx
	Производная тригонометрической функцииy = ctgx
	Производная обратной тригонометри ческой функции y=arcsinx
	Производная обратной тригонометри-ческой функции y=arccosx
	Производная обратной тригонометри-ческой функции y=arctgx
	Производная обратной тригонометри-ческой функции y=arcctgx
	Производная суммы (разности) функций y = w±u y' = u'±v'
	Производная произведения двух функций y=uv y' = u'v + v'u.
	Производная частного двух функций y=u/v
	Производная сложной функции y = f1(u), если u = f2(x), у'x = у'иu'x
	Производная неявной функции При задании функции в неявном виде F(х, у)=0 можно рассматривать левую часть равенства F(x, у) как некоторую сложную функцию х и дифференцировать обе части равенства, имея при этом в виду, что у есть функция от х, обращающая соотношение F(x, у) =0 в тождество.
	Производные второго и высших порядков Производная yx'=f '(x) от функции y=f(x) тоже является функцией от х; и также может быть дифференцируема. Производная от производной называется производной вто­рого порядка или просто второй производной. y''=f ''(х)=( f '(х)) '= Производная от производной вто­рого порядка называется производной третьего порядка и т.д. yn= =( fn-1(х)) '
	Частные производные функции нескольких переменных z = f(x,y). Частные производные первого порядка. Частной производной первого порядкафункции z = f(x,y) по аргументу х в рассматриваемой точке (х; у) называется предел если он существует. Частная производная функции z = f(x, y) по аргументу х обозначается одним из следующих символов: Аналогично частная производная по у обозначается и определяется формулой: Так как частная производная – это обычная производная функции одного аргумента, то ее нетрудно вычислить. Для этого нужно пользоваться всеми рассмотренными до сих пор правилами дифференцирования, учитывая в каждом случае, какой из аргументов принимается за «постоянное число», а какой служит «переменной дифференцирования»
Применение производных для исследования функций
	Условие возрастания функции y = f(x)на отрезке [а, b] f '(x)>0
	Условие убывания функции y=f(x)на отрезке [а, b] f '(x)<0
	Условие максимума функции y=f(x)при x= а f '(a)=0 и f '' (a)<0
	Условия функции экстремума Если при х=а производные f '(а) = 0 и f "(а) = 0, то необходи­мо исследовать f '(x)в окрестностях точки x = а. Функция у=f(х)при х=а имеет максимум, если при переходе через точку х= а производная f '(x)меняет знак с «+» на «-», в случае минимума — с « - » на «+» .Если f '(x)не меняет знака при переходе через точку х = а,то в этой точке экстремума функ­ции нет

Дифференциал функции.

1.	Дифференциал независимой переменной равен ее приращению: dx=Δx
2.	Дифференциал функции y=f(x) dy = у' Δх Дифференциал функции y=f(x) главная часть приращения функции т.е. dy= у' Δх ≈Δy=f(x+Δx)-f(x)±e Δx т.к. ±e Δx→0
3.	Дифференциал суммы (разности) двух функций y=u±v dy=du±dv
4.	Дифференциал произведения двух функций у=uv dy = vdu+udv.
5.	Дифференциал частного двух функций y=
Применение дифференциала в приближенных вычислениях
	Приращение функции через дифференциал Δy = f(x + Δx) - f(x) ≈ dy ≈ f'(x) • Δx где Δx: — приращение аргумента
	Приближенное вычисление значения функции: f(x + Δx) ≈ f(x) + f '(x) • Δx
	Дифференциал применяется для вычисления абсолютной и отно­сительной погрешностей при косвенных измерениях u = f(x, у, z .). Абсолютная погрешность результата измерения
	Относительная погрешность результата измерения
Частные дифференциалы функции двух независимых переменных
	Частным дифференциалом функции z= f(xj у) по х называется главная часть частного приращения dxf, пропорциональная приращению Δх независимой пере­менной. По аналогии с дифференциалом функции одной переменной частные дифференциалы функции f(x, у) по х ; и по у будут равны:
Полный дифференциал функции двух независимых переменных
	Полный дифференциал функции двух независимых пере­менных равен сумме ее частных дифференциалов Аналогично полный дифференциал функции многих неза­висимых переменных для функции u=f(x, у, z, ... , t) будет иметь вид

Неопределенный интеграл

	Функция F(x),имеющая данную функцию f(x)своей производной или f(x)dxсвоим дифференциалом, называется первообразной данной функции f(x).
	Совокупность всех первообразных функций для дифференциала f(x)dxназывается неопределенным интегра­лом и обозначается символом ∫ f(x)dx. -символ ∫ - называется интегралом; - f(x) –называется подинтегральной функцией; - f(x)dx - называется подинтегральным выражением и равно дифференциалу первообразной.
	Свойства неопределенного интеграла 1. ∫f(x)dx=F(x)+C 2. ∫[f(x)+φ(x)]dx=∫ f(x)dx+∫φ(x)dx 3. ∫ d(F(x))=F(x)+C 4. (∫f(x)dx)=f(x) 5. ∫f(x)dx= ∫f(t)dt 6. d∫f(x)dx=f(x)dx 7. ∫af(x)dx=a∫f(x)dx
	Основные интегралы Интеграл (n≠-1)
	Интеграл
	Интеграл
	Интеграл ∫exdx =ex+C
	Интеграл ∫sin x dx =-cos x +C
	Интеграл ∫cos xdx =sin x +C
	Интеграл
	Интеграл
	Интеграл ∫dx =х+С
	Интеграл
	Интеграл
	Интеграл
	Интеграл
	Интеграл ∫tgxdx =Lncosx+C
	Интеграл ∫ctgxdx =- Lnsinx+C
	Интегрирование по частям ∫ udv = uv—∫ vdu.
	Найти у = ∫ Ln хdх. Полагаем и=Lпх, dv = dx, тогда , v = x Используя формулу интегрирования по частям, получаем у = ∫ Lnxdx = x Lnх-∫ dх = xLn-x+C
	Интегрирование методом замены переменных Найти у= ∫x (1+ 2x2)dx Заменим l+2x2=z, подставим замену в интеграл, тогда сократим подобные члены получим Возвращаясь к прежней переменной х, окончательно имеем

Определенный интеграл

	Интегральная сумма ∑f(ki)Δxi ( от i=1 до n ) где ki произвольная точка соответствующего отрезка
	Определенный интеграл функции f(x) на отрезке [а, b]
	Формула Ньютона — Лейбница ,где F(a) и F(b) первообразная функции f(x)при замене х на а и b , т е F′(x)=f(x)
	свойства определенного интеграла
	Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x), осью абсцисс и прямыми х=а и х=b,
	Площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми y=.f1(x)и у = f2(x) [ f'2(x)≥f1(x)]и двумя прямыми х=а и х=b,

Поиск по сайту: