Дифференциальные уравнения

Предел

Функция y = f(x) имеет пределом число А при стремлении х к а, если для каждого числа е>0 найдется такое число δ>0, что

|y— A|<е, при | х —a|<δ

lim y= А при | х —a|→0

Основные теоремы о пределах Предел постоянной величины

limА=А.

Производная. Применение производных для исследования функций

Производной функции f(x)называется предел отношения прира-щения функции Δу к приращению аргумента Δх в точке хпри стремлении Δх к нулю:

ý=lim Δy / lim Δx при lim Δx →0

Производные некоторых функций :

Условие возрастания функции y = f(x)на отрезке [а, b]

f'(x)>0

Условие убывания функции y=f(x)на отрезке [а, b]

f'(x)<0

Условие максимума функции y=f(x)при x= а

f'(a)=0 и f'' (a)<0

Если при х=а производные f'(а) = 0 и f"(а) = 0, то необходи­мо исследовать f'(x)в окрестностях точки x = а. Функция у=f(х)при х=а имеет максимум, если при переходе через точку х= а производная f'(x)меняет знак с «+» на «-», в случае минимума — с « - » на «+» Если f'(x)не меняет знака при переходе через точку х = а,то в этой точке у функ­ции экстремума нет

Дифференциал функции. Применение

Дифференциала в приближенных вычислениях

Дифференциал независимой переменной равен ее приращению:

Dx=Δx

Дифференциал функции y=f(x)

dy = у' Δх.

Дифференциал суммы (разности) двух функций y=u±v

dy=du±dv.

Дифференциал произведения двух функций у=uv

dy = vdu-\-udv.

Дифференциал частного двух функций y=u/v

dy=(vdu-udv)/v²

Приращение функции

Δy = f(x + Δx) - f(x) ≈ dy ≈ f'(x) • Δx

где Δx: — приращение аргумента.

Приближенное вычисление значения функции:

f(x + Δx) ≈ f(x) + f'(x) • Δx

Дифференциал применяется для вычисления абсолютной и отно­сительной погрешностей при косвенных измерениях u = f(x, у, z .). Абсолютная погрешность результата измерения

du≈Δu≈|du/dx|Δx+|du/dy|Δy+|du/dz|Δz+…

Относительная погрешность результата измерения

du/u≈Δu/u≈(|du/dx|Δx+|du/dy|Δy+|du/dz|Δz+…)/u

Неопределенный интеграл

Функция F(x),имеющая данную функцию f(x)своей производной или f(x)dxсвоим дифференциалом, называется первообразной данной функции f(x). Совокупность всех первообразных функций для дифференциала f(x)dxназывается неопределенным интегра­лом и обозначается символом ∫ f(x)dx.Основные интегралы

∫x^μdx=x^μ+1/ (μ+1) +C (μ≠-1)

∫dx/x=ln|x|+C

∫a^xdx=a_x/lna +C

∫e^xdx=e^x+C

∫sin x dx=-cos x +C

∫cos xdx=sin x +C

∫dx/cos²x=tgx+C

∫dx/sin²x=-ctgx+C

Интегрирование по частям

∫ udv = uv—∫ vdu.

Пример

Найти у = ∫In хdх.

Полагаем и=lпх, dv = dx, тогда dи =dx/x, v = x

Используя формулу интегрирования по частям, получаем

у = ∫ In xdx = x In х-∫ dх = xlnx-x+C

Пример

Найти у= ∫ (1++ 2x²)dx

Заменим l+2x=z, dx = dz/2 Тогда

y=0,5∫z²dz

Таким образом, интеграл сведен к табличному виду Воспользовавшись формулой, найдем

0,5∫z²dz=z³/6+C

Возвращаясь к прежней переменной х, окончательно имеем

Y=(1+2x)³/6+C

Определенный интеграл

Интегральная сумма

∑f(k_i)Δx_i ( от i=1 до n )

где k_i — произвольная точка соответствующего отрезка. Определенный интеграл функции f(x) на отрезке [а, b]

Формула Ньютона — Лейбница

где F′— первообразная функцию f(x), т е

F′(x)=f(x)

Некоторые свойства определенного интеграла

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x), осью абсцисс и прямыми х=а и х=b,

Площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми y=.f₁(x)и у = = f₂(x) [ f'₂(x)≥f₁(x)]и двумя прямыми х=а и х=b,

Дифференциальные уравнения

Общий вид дифференциального уравнения

F(x ,y,y′,y″,…yⁿ) = О

Общee решение дифференциального уравнения

y=f(x, C₁,C₂, , С_n)

Общий вид дифференциального уравнения первого порядка

F(x,y,y') = 0

Общее решение дифференциального уравнения первого порядка

y= f(x,C)

примеры

1 Дифференциальное уравнение типа y'=f(x)

dy/dx=f(х) , dx = f(x)dx

Общее решение

y=∫f(x)dx=F(x)+C

2 Дифференциальное уравнение типа у' = f(y)

dy/dx=f(y), dy/f(y)=dx

Общее решение

∫dy/f(y)=F(y)+C

Дифференциальное уравнение с разделенными переменными

f(x) dx + φ(y)dy = 0

Общее решение

∫f(x) dx + ∫φ(y)dy = C, F(х) + Ф(у) = С

Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

f(x)φ(y)dx+ψ(x)Ф(y)dy=0

Приведем это уравнение к уравнению с разделенными переменными

(f(x)/ψ(x))dx+(Ф(y)/φ(y))dy=0

Общее решение

∫(f(x)/ψ(x))dx+∫(Ф(y)/φ(y))dy=C, F₁(x)+F₂(y)=C

Поиск по сайту: