задание 2. Методические указания к решению типовых задач по теме «Статистическая обработка результатов экперимента»

Группировка позволяет получить такие результаты, по которым выявляется состав совокупности, характерные черты и свойства типичных явлений, обнаружить закономерности и взаимосвязи.

Первым и наиболее простым способом обобщения статистических данных являются ряды распределения.

Статистическим рядом распределения называют численное распределение единиц совокупности по изучаемому признаку. В зависимости от признака ряды могут быть вариационные (количественные) и атрибутивные.

Количественные признаки - это признаки, имеющие количественное выражение у отдельных единиц совокупности.

Атрибутивные признаки - это признаки, не имеющие количественной меры (качественные признаки).

Вариационные ряды могут быть дискретными или непрерывными. Дискретный ряд распределения - это ряд, в котором численное распределение признака выражено одним конечным числом, например, распределение рабочих по разрядам:

Непрерывные ряды распределения - это ряды, в которых непрерывные признаки могут отличаться друг от друга на сколь угодно малую величину и в определенных границах принимать любые значения, например, заработная плата рабочих, стоимость основных производственных фондов и др. Когда число вариант рядов велико для дискретного признака и значения вариант не повторяются для непрерывного признака, строятся интервальные ряды распределения.

Интервальный ряд распределения это ряд, в котором значения признака заданы в виде интервала, например, предыдущий пример можно представить в виде интервала:

При построении интервальных рядов распределения необходимо определить число групп, какие взять интервалы (равные, неравные, закрытые, открытые).

Число групп можно определить по формуле:

n = 1 + 3,332 lg N

где N - число единиц совокупности;

n - число групп.

Специальные методические исследования позволили установить, что наиболее четко закономерности выступают в количественных группировках, в которых не более 7 - 10 групп.

Для определения оптимального числа групп в зависимости от количества наблюдений можно воспользоваться следующей шкалой:

Равные интервалы применяют в том случае, когда максимальное значение признака превышает не более, чем в 10 раз минимальное значение и интервал определяют:

При большом колебании группировочного признака используют неравные интервалы, построенные на принципе кратности. Обычно последующие интервалы возрастают в 2-3 раза. Их недостаток заключается в том, что объекты с разным уровнем экономического развития часто попадают в одну группу. Избежать этого можно путем применения специализированных интервалов, т.е. интервалов, отображающих экономическое содержание групп.

По построению интервалы бывают замкнутые и открытые. В замкнутых (закрытых) интервалах верхняя и нижняя границы их имеют определенное числовое выражение, например, заработная плата на одного рабочего 10-15 тыс. рублей, 15-20 тыс. рублей, 20-25 тыс. рублей и т.д. В открытых интервалах нижняя и верхняя группы не имеют строго очерченных численных границ.

После образования интервалов необходимо образовать группы частот (повторяемости явлений). Это возможно на основе различных методик. Наиболее простая сводится к тому, что предварительно составляется ранжированный ряд распределения, то есть ряд, в котором значение признака располагается в возрастающем или убывающем порядке и счет ведется по группам.

Применение средних и индивидуальных величин для характеристики изучаемой совокупности - необходимый прием разработки рациональных группировок.

Для дискретного ряда распределения средняя арифметическая исчисляется по формуле:

(простая средняя арифметическая).

Для интервальных рядов средняя арифметическая определяется:

(взвешенная средняя арифметическая),

где х - варианты;

n - число наблюдений;

f - частота (вес или повторение).

Вариационный ряд характеризуется еще двумя средними показателями – медианой и модой. Медиана - показатель средней величины вариационного ряда. Она определяется по формуле:

где x_me - нижняя граница медианного интервала;

i - величина интервала;

- сумма накопленных частот до медианного интервала.

Мода – это величина признака с максимальной частотой, определяется по формуле:

где x_mo – частота модального интервала;

– частота предмодального интервала;

– частота послемодального интервала.

На основе рассчитанных значений средних величин (средней, моды, медиане) необходимо сделать вывод о согласованности данного эмпирического ряда распределения нормальному распределению.

Если эмпирический ряд согласуется с нормальным распределением.

Абсолютные величины каждой изучаемой единицы совокупности различны, что связано с влиянием на нее большого количества различных факторов. Свойство единиц отличаться друг от друга называют изменчивостью признака. Для погашения индивидуальных отклонений используют средние величины, характеризующие основные свойства изучаемых объектов.

Однако средних величин недостаточно. Для характеристики совокупности нужно знать, как группируются признаки вокруг средней величины для чего используются показатели среднего квадратического отклонения и коэффициента вариации.

Среднее квадратическое отклонение характеризует степень изменчивости признака в абсолютных величинах и определяется по формуле:

(для дискретного ряда)

(для интервального ряда)

Для нормального ряда распределения отклонение от средней ( ) относят на три сигмы (3s) влево и вправо.

Порядок расчета среднеквадратического отклонения:

а) рассчитывают среднюю арифметическую ( );

б) определяют отклонения от средней величины ( - );

в) отклонения возводят в квадрат ( - )²;

г) квадрат каждого отклонения умножают на частоту ( - )²f;

д) суммируют произведение квадратов отклонений от средней величины на частоту ;

е) сумму отклонений делят на сумму частот

;

ж) определяют квадратическое отклонение

Изменчивость признака в вариационных рядах можно определить не только в абсолютных, но и в относительных величинах. Коэффициент вариации определяется по формуле:

или

Он показывает на сколько процентов в среднем отклоняются значения признака ряда от средней величины. Изменчивость признака считается незначительной, если коэффициент вариации не более 10%. При коэффициенте вариации от 11 до 30% изменчивость будет средней, а свыше 30 - большой. Исследования показывают, что при коэффициенте вариации не более 15% нет необходимости определять степень достоверности получения статистических данных и ряд является однородным. По мнению других авторов эти границы могут несколько отличаться, но не существенно. Если ряд не однороден, то необходимо провести первичную статистическую обработку, а именно: проверку на однородность и исключение аномальных наблюдений.

В учебных целях все студенты проверяют эмпирический ряд на однородность по F –критерию, независимо от того, какой получился коэффициент вариации.

Проверка ряда на однородность осуществляется следующим образом: разбивается ряд на две выборки, например, n₁ = 11_, n ₂ = 8. По этим выборкам определяются дисперсии. Так, в нашем примере s₁² = 2267, s₂² = 700,6. На основе рассчитанных дисперсий определяется расчетное значение F– критерия. В нашем случае F_расч.=s₁² /s₂² = 2267/700,6 = 3,23. Это значение сравнивается с теоретическим значением F-критерия при определенном уровне значимости (5% или 1%) и числе степеней свободы, числителя V₁ = n₁ – k – 1 и знаменателя V₂ = n₂ – k – 1 по таблицам (приложение Е). У нас V₁ = 8, V₂ = 5, F _табл. = 4,82. Так как F_расч. = 3,23 < F_табл. = 4,82, то выборки следует признать однородными и исследование в дальнейшем вести по эмпирическому ряду в целом. Если F_расч. > F_табл. , то исследование в дальнейшем следует проводить раздельно по двум выборкам. Необходимо только запомнить, что в числителе F – критерия всегда должна стоять большая дисперсия.

Для подтверждения достоверности информации необходимо кроме проверки ее на однородность исключить аномальные наблюдения (резко выделяющиеся). Имеется несколько методов для проведения этой процедуры. Воспользуемся наиболее простым методом расчета обнаружения грубых ошибок с помощью Т –критерия Граббса, для чего рассчитывается:

, где

Т_н – расчетное значение Т-критерия;

– подозреваемое значение в эмпирическом ряду (минимальное или максимальное);

- среднее значение;

s - среднеквадратическое отклонение.

Расчетное значение Т_н сравнивается с табличным ( см. приложение Б) при определенной вероятности и заданном объеме информации. Если Т_н ³ Т_кр., то в эмпирическом ряду есть выбросы ( аномальные наблюдения) и их необходимо исключить из дальнейшего исследования, если Т_н < Т_кр. , то данные не сильно расходятся и большого искажающего эффекта не будет. Студент проверяет одно минимальное и одно максимальное значение признака. После проверки информации на достоверность продолжают проверку ряда на согласованность нормальному распределению по показателям асимметрии и эксцесса. Фактические данные могут несколько отличатся от нормального распределения и иметь асимметрию и эксцесс и возникает вопрос на сколько велики эти расхождения. Чтобы ответить на этот вопрос рассчитывается коэффициенты асимметрии и эксцесса. Коэффициент асимметрии и эксцесса определяется по формуле;

, где

– момент третьего порядка.

Если коэффициент асимметрии получается положительным, то это правосторонняя асимметрия, отрицательным – левосторонняя. Следующие количественные значения свидетельствуют величине асимметрии:

As < 0.5 – малая асимметрия;

0.5 < As < 1 - средняя асимметрия;

As > 1 - большая асимметрия.

В нормальном распределении As = 0.

Эксцесс – это какие-то глубинные причины, которые уменьшают (увеличивают) частоты на концах ряда, в результате появляется в ряду островершинность (низковершинность). Коэффициент эксцесса определяется по формуле:

, где

m⁴ – момент четвертого порядка.

Плюс (+) свидетельствует об островершинности, а минус (-) – о низковершинности (плосковершинности). Если Еs приближается k ±0.4 – это незначительное накопление частот, фактическое распределение согласуется с нормальным; Еs >3,5 – это большой коэффициент свидетельствует о сниженной изменчивости признака; Es - > - 2 – появляется 2 вершинности, что свидетельствует о неоднородности ряда.

Условия для задач (варианты 1-10)

По приведенным ниже данным:

а) построить дискретный и интервальный вариационный ряд (число групп равно десяти, интервалы равные);

б) построить графики ряда (полигон и гистограмму);

в) для полученного интервального ряда вычислить с точностью до 0,010

1)среднюю арифметическую, медиану, моду и сделать вывод относительно согласованности данного эмпирического ряда нормальному распределению;

2)показатели вариации: дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации и на их основе сделать вывод относительно однородности эмпирического ряда;

3)проверить информацию на достоверность и однородность по F – критерию Фишера и Т – критерию Граббса;

4) подтвердить согласованность фактического ряда с нормальным распределением по показателям асимметрии и эксцесса.

5) изложить письменно основное содержание выполненной работы, указав на значение и принципы вычисления показателей (средней арифметической, среднего квадратического отклонения, моды, медианы и коэффициента вариации), а также выводы, которые можно сделать на основе вычисленных показателей.

Вариант 1 – Имеются данные о напряжении пробоя свечей, кВ:

Вариант 2 – Имеются данные о скоростях трактора МТЗ-80 при различных передачах, км/ч:

Вариант 3 - -Имеются следующие данные о уровне электролита аккумуляторной батареи, мм

Вариант 4 - Имеются данные о результатах испытаний ударной вязкости 100 цилиндрических образцов из малоуглеродистой стали, :

Вариант 5 – Имеются данные о количестве оборотов коленчатого вала в минуту

Вариант 6 – Имеются данные о заработной плате работников СТО, тыс. руб.:

Вариант 7 – Имеются данные о сопротивлении высоковольтных проводов, кОм:

Вариант 8 - Имеются данные о прогибе приводных ремней передач 100 комбайнов, мм:

Вариант 9 - Имеются данные о пробеге 100 шин нового образца, тыс. км:

Вариант 10 – Имеются данные о частоте вращения колеса дождевальной машины ДДН-100, об/мин.

Поиск по сайту: