Обобщающей характеристикой совокупности однотипных явлений по изучаемому признаку является средняя величина. Она должна вычисляться с учетом экономического содержания определяемого показателя.
Наиболее широкий круг свойств совокупностей данных описывается определяющей функцией степенного вида: , принимающей различные выражения с изменением показателя z. Они представлены в таблице 1.
Таблица 1 - Виды средних величин
Значение z
Определяющие функции
Формулы средних
Наименование средних
Обозначения средних
Общие
-
Степенная
Частные
-1
Гармоническая
h, -1
w=х0
Геометрическая
g, 0
w=х
Арифметическая
a, 1
w=х2
Квадратическая
q, 2
w=х3
Кубическая
кубич, 3
w=х4
Биквадратическая
бикв,, 4
Средняя величина связана с показателем степени следующим образом:
h < g < a < q < кубич < бикв
Свойства средних возрастать с повышением показателей степени определяющей функции называется правилом можарантности.
Если исследователь имеет дело с данными в виде рядов распределения или с интервальными рядами (признак сгруппирован), то определяется средняя взвешенная.
Чтобы применить эту формулу, необходимо варианты признака в интервальном ряду выразить одним числом (дискретным); за такое дискретное число принимается средняя арифметическая простая из верхнего и нижнего значения интервала. Так, для первой группы дискретная величина х будет равна:
,
где хн, хв - нижнее и верхнее значение признака в интервале соответственно.
Таким образом, средняя взвешенная, как видно из формулы зависит не только от значений признака, а также от частот, то есть от состава совокупности, от ее структуры.
В отдельных случаях веса могут быть представлены не абсолютными величинами, а относительными (в процентах или долях единицы).
Если частоты подсчитывают в долях (коэффициентах), то Sd=1, и формула средней арифметической взвешенной имеет вид:
где - частость, т.е. доля каждой частоты в общей сумме всех частот.
При выборе вида средней величины можно руководствоваться следующими правилами:
а) если имеются данные по двум взаимосвязанным показателям, для одного из которых нужно вычислить среднюю величину и при этом известны численные значения знаменателя ее формулы, а числителя не известны, но могут быть найдены как произведения этих показателей, то средняя должна вычисляться по формуле средней арифметической взвешенной;
б) если известны численные значения числителя формулы, а значения знаменателя не известны, но могут быть найдены как частные от деления одного показателя на другой, то средняя вычисляется по формуле средней гармонической;
в) в том случае, когда известны численные значение числителя и знаменателя формулы показателя, средняя вычисляется непосредственно по этой формуле;
г) если необходимо определить средние темпы изменения явлений во времени, определяется средняя геометрическая;
д) когда в исходной информации усредняемые величины представлены линейными мерами, например, при расчете средних диаметров труб, стволов деревьев и др., то используется средняя квадратическая простая либо взвешенная.
Условия для задач (варианты 1-10)
Вариант 1 – Имеются следующие данные о уровне электролита аккумуляторной батареи
Номер автомобиля
Уровень электролита аккумуляторной батареи, мм
17,5
19,5
Определить средний уровень электролита аккумуляторной батареи
Вариант 2 – Имеются следующие данные о напряжении покоя аккумуляторной батареи
Марка машины
Напряжении покоя аккумуляторной батареи, В
Число машин.
А
11 – 11,5
Б
11,5 – 12,0
В
12,0 – 12,5
Определить среднее напряжение покоя аккумуляторной батареи.
Вариант 3 – Имеются данные о давлении масла
Марка
Давление масла, Бар
Количество двигателей
А
10-25
Б
6-50
В
5-50
Определить среднее давление масла в двигателе.
Вариант 4 – Имеются данные о времени разгона автомобилей.
Марка автомобиля
Время разгона,с
А
Б
В
Г
8,5
Д
9,7
Е
11,5
Определить среднее время разгона автомобилей.
Вариант 5 –Имеются данные о производительности труда на станции ТО
№ рабочего
Оказано услуг на сумму (производительность труда), тыс. руб.
231,4
528,2
630,9
481,3
340,8
Определить среднюю производительность труда работника СТО.
Вариант 6 - Имеются данные о температуре открытия и закрытия термостата.
Марка машин
Температура, С
Число машин
А
88-90
Б
90-92
Определить среднюю температуру открытия и закрытия термостата.
Вариант 7 – Имеются данные о максимальной скорости разгона автомобилей.
Марка машин
Скорость, км/ч
Число машин
А
100-120
Б
120-140
В
140-160
Определить среднюю скорость разгона автомобилей
Вариант 8 - Имеются следующие данные о заработной плате работников СТО.
№ СТО
Средняя заработная плата, тыс.руб.
Численность рабочих, чел
19,5
21,4
12,9
16,8
15,5
Определить среднюю з/пл работников по пяти СТО.
Вариант 9 –Имеются данные о оказанных услугах и среднегодовой выработке на 1 работника по четырем СТО.
№ СТО
Оказано услуг,
тыс.руб.
Выработка на 1 работника, тыс. руб
Определить среднюю производительность труда одного работника.
Вариант 10 - Имеются следующие данные о заработной плате работников СТО
№ бригады
Средняя заработная плата, тыс. руб.
Фонд заработной платы, тыс. руб.
15,9
60,9
19,4
240,6
18,1
76,5
21,3
110,5
17,3
96,8
Определить среднюю з/пл работника в среднем по СТО.