Базис и ранг системы векторов

Пусть дана система векторов . Базисом данной системы векторов (максимальной линейно независимой подсистемой) называется такая подсистема, векторы которой линейно независимы, а любой другой вектор системы является их линейной комбинацией.

Система векторов может иметь несколько базисов. При этом все они содержат одинаковое количество векторов.

Рангом системы векторов называется число векторов в любом базисе системы. Другими словами, ранг системы векторов равен максимальному числу линейно независимых векторов системы.

Базисом n-мерного векторного пространства называется совокупность n линейно независимых векторов этого пространства.

Разложение вектора по системе векторов

Пусть имеется система векторов , принадлежащих пространству , и произвольный вектор :

, , …, , . Представим вектор в виде линейной комбинации векторов :

.

Такая запись называется разложением вектора по векторам . В связи с этим возникает вопрос: всегда ли можно произвольный вектор разложить по векторам этого же пространства?

Запишем данную линейную комбинацию в виде:

+ +…+ = , или

= , или

Получена система n уравнений с m переменными . Если данная система имеет единственное решение, то вектор единственным образом может быть разложен по векторам . В этом случае называются коэффициентами разложения вектора по векторам . Если полученная система решений не имеет, то вектор не может быть разложен по векторам . Если же система имеет бесчисленное множество решений, то вектор может быть разложен по векторам множеством различных способов.

Таким образом, представление вектора в виде линейной комбинации системы векторов равносильно решению системы линейных уравнений.

Пусть векторы представляют собой некоторый базис n-мерного векторного пространства. Тогдалюбой вектор этого пространства может быть разложен по векторам базиса и притом единственным образом.

Пример 1. Даны векторы , и , образующие базис трёхмерного векторного пространства. Разложить вектор по этому базису.

Решение. По условию задачи вектор нужно представить в виде линейной комбинации векторов , т.е. или . Последнее равенство запишем в виде

, или

, или

Получена система трех уравнений с тремя переменными . Решив данную систему, получим . Таким образом, .

Вопросы для самоконтроля знаний

1) Что называется n-мерным арифметическим вектором?

2) Как определяется сумма, разность двух n-мерных векторов и произведение n-мерного вектора на скаляр?

3) Что такое линейная комбинация m векторов?

4) Какая система векторов называется линейно зависимой и линейно независимой?

5) Что понимают под разложением вектора по системе векторов?

6) Что называется базисом системы векторов и базисом пространства?

Поиск по сайту: