Учреждение образования «Белорусская государственная
Сельскохозяйственная академия»
Кафедра высшей математики
Методические указания
по изучению темы «Векторы в n-мерном пространстве» студентами бухгалтерского факультета заочной формы получения образования (НИСПО)
Горки, 2013
Векторы в n-мерном пространстве
1. n-мерные арифметические векторы
n-мерным арифметическим вектором называется упорядоченная совокупность n действительных чисел, а числа, входящие в эту совокупность, называются координатами вектора.
Число координат вектора называется его размерностью.
Если все координаты вектора равны нулю, то вектор называется нулевым и обозначается 0 или .
Если соответствующие координаты векторов и равны, то векторы называются равными:
Наиболее простыми операциями над n-мерными векторами являются сложение векторов, вычитание векторов и умножение вектора на число. Такие операции называются линейными. Складывать и вычитать можно векторы только одинаковой размерности.
Суммой (разностью) двух n-мерных векторов и называется n-мерный вектор
и обозначается .
Произведениемn-мерного вектора на число называется n-мерный вектор
.
Таким образом, при сложении или вычитании векторов складываются или вычитаются их одноименные координаты. При умножении вектора на число каждая координата вектора умножается на это число.
Множество всех n-мерных векторов с введёнными на нём операциями сложения, вычитания и умножения вектора на число называется n-мерным арифметическим векторным пространством и обозначается .
Линейная зависимость векторов
Пусть имеется m n-мерных векторов и m действительных чисел . Выражение
называется линейной комбинацией векторов , а числа называются коэффициентами линейной комбинации.
Линейная комбинация n-мерных векторов также является n-мерным вектором.
Векторы называются линейно зависимыми, если существуют такие числа , из которых хотя бы одно отлично от нуля, что выполняется равенство
.
Если данное равенство возможно лишь в случае, когда все числа равны нулю, то векторы называются линейно независимыми.
Рассматриваемые векторы называются системой векторов.
Если некоторый вектор может быть представлен в виде линейной комбинации векторов т.е.
,
то расширенная система векторов будет линейно зависимой. И, наоборот, если система векторов линейно зависима, то один из векторов системы может быть представлен в виде линейной комбинации остальных.
Таким образом, условие линейной зависимости векторов можно сформулировать следующим образом: система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов системы является линейной комбинацией остальных векторов.