Требования к аудиториям (помещениям, местам) для проведения занятий.
Стандартно оборудованные лекционные аудитории. Для проведения отдельных занятий (по заявке) – выделение компьютерного класса, а также аудитории для проведения интерактивных лекций: видеопроектор, экран настенный, др. оборудование.
Требования к специальному программному обеспечению.
При использовании электронных учебных пособий каждый обучающийся во время занятий и самостоятельной подготовки должен быть обеспечен рабочим местом в компьютерном классе с выходом в Интернет и корпоративную сеть факультета.
Требования к перечню и объему расходных материалов.
Фломастеры цветные, губки, бумага формата А4, канцелярские товары, картриджи принтеров, диски, флеш-накопители и др. в объеме, необходимом для организации и проведения занятий, по заявкам преподавателей, подаваемым в установленные сроки.
Глоссарий
1. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИГНАЛОВ
1.1. Сигнал (Signal) – то, что математики обычно называют функцией. Под
сигналом можно понимать какое-то упорядоченное множество чисел, несущих
информацию о некотором процессе. Обычно описывается двумя (одномерный
сигнал), тремя (двумерный сигнал) или более (многомерный сигнал)
параметрами. Представляется в виде конечной или бесконечной совокупности
точек. Одним из параметров для всех типов сигналов является значение уровня
сигнала (его энергии) во всех точках. В качестве других параметров обычно
выступают время (одномерный сигнал), пространственные координаты
(двумерный и многомерные сигналы). Значения всех параметров могут быть
непрерывными или дискретными. Таким образом, для каждой размерности можно
различать 2L сигналов, где L- размерность сигнала. Например, в одномерном
случае существуют сигналы, непрерывные по времени и уровню, дискретные по
времени и уровню, дискретные по времени и непрерывные по уровню,
непрерывные по времени и дискретные по уровню. Преобразование
непрерывного по времени и уровню сигнала в дискретный по времени и уровню
сигнал называется аналого-цифровым преобразованием (АЦП), обратное
преобразование - ЦАП. Так как эти вопросы выходят за рамки глоссария, в
дальнейшем все сигналы считаются дискретными по времени и уровню, то есть
цифровыми.
1.2. Преобразования сигналов (Signal Transform) – понятие, вообще говоря,
очень широкое и включает в себя любую операцию, производимую над сигналом.
В рамках словаря под преобразованием мы будем понимать лишь обобщенное
преобразование Фурье (см. Преобразование Фурье). Преобразование переводит
сигнал из одной области представления в другую. Прямое преобразование
переводит сигнал из временной (пространственной) области в область
спектра, которая еще называется трансформантой. Обратное преобразование
переводит сигнал из области трансформанты во временную
(пространственную) область.
Преобразования сигналов используются для разных целей: его сжатия, анализа и
т.д. Анализ заключается в выполнении каких-нибудь действий над сигналом и
формулировке выводов на основе полученных данных.
1.3. Спектр (Spectr) – представление сигнала в виде конечной или бесконечной
суммы некоторых элементарных сигналов, умноженных на некоторые числа. В
качестве элементарных сигналов обычно выступают ортогональные функции,
такие как Фурье, Уолша, Хаара, Адамара, Хартли, вейвлеты и т.д. Поэтому
говорят о спектре Фурье, Уолша и т.д. Числа, на которые умножаются
элементарные сигналы называются спектральными коэффициентами
(коэффициентами трансформанты). Часто просто говорят о коэффициентах
Фурье, Уолша и т.д.
1.4. Базис (Basis) – совокупность векторов пространства обладающих
следующим свойством: любой вектор пространства может быть представлен
единственным образом как их линейная комбинация . Число
базисных векторов равно размерности пространства. Аналогично и
последовательность функций является базисом функционального
пространства, если любая функция из этого пространства может быть
представлена единственным образом как . Числа называются
(GenLOT) – результат ПОП умножается на дополнительные матрицы. И ДКП, и
ПОП являются частными случаями этого преобразования.
1.17. Преобразование Хартли (Hartley) – одно альтернатив ДПФ, использует
вещественные функции. Одно время рассматривалось как панацея ЦОС, но
потом оказалось в тени вейвлет-преобразования.
1.18. Свертка (Convolution). Сверткой двух векторов называется вектор,
n -й элемент которого равен .
ФИЛЬТРЫ
Фильтр (Filter) – линейная стационарная система, то есть свойства фильтра не
зависят от времени. Независимость свойств фильтра от времени означает, что
задержка входа приводит к такой же задержке выхода. К основным
характеристикам фильтров относятся импульсная характеристика ,
передаточная характеристика , частотная характеристика, порядок фильтра.
2.1. Каузальный (Causal) фильтр - реакция фильтра не может предшествовать приложенному воздействию. Система каузальна, если выходной сигнал зависит от входного сигнала только в моменты времени до момента наблюдения.
2.5. Фильтр Баттерворта (максимально плоский фильтр) – в полосе
пропускания практически нет колебаний. Это является преимуществом для
многих приложений, где требуется постоянство коэффициента ослабления
фильтра для всех частот полосы пропускания. Недостатком такого фильтра
является невысокая крутизна полосы перехода.
2.6. Дополнительные по мощности (Power Complementary) фильтры - Примерами могут служить фильтры параунитарного банка фильтров.
2.7. Квадратурно-зеркальный фильтр – КЗФ (Quadrature Mirror Filter - QMF) – пара фильтров ВЧ и НЧ характеристики которых симметричны относительно средней частоты. Эта частота называется квадратурной, отсюда и название фильтров. КЗФ могут быть как с КИХ, так и с БИХ. Банк фильтров КЗФ может быть М-полосным.
БАНКИ ФИЛЬТРОВ
Банк фильтров (Filter Bank) – совокупность фильтров и следующих за ними
дециматоров или следующих перед ними интерполяторов. Под дециматором
Банки фильтров бывают равномерные и неравномерные, ортогональные,
биортогональные, двухканальные и многоканальные и т.д. Каждый фильтр банка
фильтров образует канал. Поэтому говорят об M -канальном банке фильтров.
Сигнал в канале назыается субполосой. Отсюда название субполосная
фильтрация (субполосное кодирование).
В случае если число каналов равно коэффициенту децимации (интерполяции)
говорят о максимально (критически) децимированном банке фильтров. Быстрый
алгоритм вычисления вейвлет-преобразования строится именно на основе таких
банков фильтров.
Равномерный банк фильтров – децимация в каждом канале одинаковая. В
противном случае – неравномерный банк фильтров. Частный случай
неравномерного банка фильтров - древовидный банк фильтров.
3.1. Децимация (прореживание) (Decimation) – операция, заключающаяся в
выбрасывании отсчетов, чей порядковый номер кратен определенному числу.
Например, при децимации в два раза выбрасывается каждый второй отсчет, при
прореживании в три раза – каждый третий и т.д.
Спектр выходного сигнала при операции децимации содержит M копий «расширенного» в M раз спектра входного сигнала. Если сигнал не ограничен полосой частот, то происходит наложение спектров копий, то есть элайзинг. Поэтому в банке
фильтров перед децимацией выполняется НЧ фильтрация.
Совокупность фильтра и дециматора называется фильтром-дециматором.
3.2. Интерполяция (Interpolation) – операция, заключающаяся во
встраивании между отсчетами, чей порядковый номер кратен определенному
числу, некоторой константы (обычно нуля).
3.3. Банк фильтров анализа (Analysis Filter Bank).
3.4. Банк фильтров синтеза (Synthesis Filter Bank) :
3.5. Система анализа-синтеза (А-С) – совокупность банка фильтров анализа и
банка фильтров синтеза. Сигнал вначале декомпозируется на субполосы, в
каждой из них выполняется некоторая его обработка и, затем, выполняется
синтез сигнала (реконструкция). Надо отметить, что иногда нужен обратный
порядок операций: сначала синтез, потом анализ. Такая последовательность
действий встречается при использовании банков фильтров в связи. При этом НЧ
сигналы от разных источников интерполируются, фильтруются, объединяются и
передаются по каналу связи. На приеме групповой сигнал подается на схему
анализа для выделения сигналов отдельных абонентов. Такая схема, называется трансмультиплексором.
3.6. Lazy («ленивый») банк фильтров – система А-С без фильтров. Применяется при доказательстве теорем в банках фильтров.
3.7. Элайзинг (Aliasing) – наложение спектра, то есть два сигнала накладываются один на другой.
3.8. Устранение элайзинга (Alias Cancellation). Выходной будет свободен от элайзинговой составляющей.
4. ВЕЙВЛЕТЫ И ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ.
Вейвлеты - это математические функции, обладающие некоторыми свойствами.
В научном сообществе до сих пор не решен вопрос, какие функции относить к
вейвлетам. В узком смысле это семейство функций, получающихся путем
масштабирования и сдвигов одной, материнской функции. Именно за счет
изменения масштабов вейвлеты способны выявить особенности сигнала на
разных шкалах, а за счет сдвигов они способны пронализировать сигнал во всех
точках. В широком смысле вейвлеты - это функции, обладающие хорошей
частотно-временной локализацией, чье среднее значение равно нулю. При этом
они могут вовсе не иметь функции-прототипа (например, вейвлеты второго
поколения, названные так В.Свелденсом).
В математических кругах вейвлеты назывались одно время всплесками, но сейчас
этот термин встречается редко.
В приложениях чаще всего используют дискретные вейвлеты, так как
непрерывные вейвлеты не образуют ортонормированного базиса и бесконечно
протяжены (имеют экспоненциальный спад). С другой стороны, применение
непрерывного вейвлет-анализа позволяет лучше визуализовать результаты
анализа (получить более «красивые картинки») и, возможно, выявить какие-то
скрытые от других видов анализа свойства сигнала. Хотя я бы лично
рекомендовал использовать для анализа сигналов частотно-временные
разложения Вигнера и им подобные - там, где скорость анализа не имеет
первостепенной важности.
Рассмотрим основные термины, использующиеся в этой области. При этом надо
учесть, что если англоязычные термины являются устоявшимися, то этого нельзя
сказать о русских терминах. Даже перевод и издание «библии вейвлетов» - книги
И.Добеши «Десять лекций по вейвлетам» - не исправил до конца положения. Так,
по мнению одного из авторитетов в этой области - Л.Левковича-Маслюка -
перевод терминологии (в редакции проф. А.Петухова) выполнен неудачно. Что ж,
сколько людей - столько мнений.
4.1. Непрерывное (Continuos) вейвлет-преобразование (CWT). Под CWT функции понимается разложение по всем возможным сдвигам и сжатиям некоторой функции (порождающего вейвлета).
преобразование). В этом случае рассматриваются не все сдвиги и растяжения
базисной функции, но только взятые на некоторой дискретной сетке (обычно
логарифмической). Заметьте, что если сигнал остается непрерывным, то называть
это преобразование дискретным неверно и приводит к путанице. Иногда его
называют диадным. Мне кажется (и не только мне), что лучше называть это
преобразование рядами вейвлетов непрерывного времени (CTWS) по аналогии с
рядами Фурье.
Если же сигнал - дискретный, то аналогичное преобразование правильно
называть дискретным вейвлет-преобразованием. Формулами вычисления прямого
ДВП является, по сути, масштабирующее уравнение (см. ниже) для вейвлет-
функции и для масштабирующей функции. Обратное ДВП всегда существует.
4.3. Кратномасштабный (многомасштабный) анализ (КМА) - Multiresolution
Analysis (MRA) - математическая конструкция, схема представления сигналов. Эта
конструкция позволяет «с другой стороны» зайти к построению вейвлет-рядов и
заключается в представлении пространства в виде бесконечной последовательности вложенных подпространств, являющихся отмасштабированными версиями друг друга и связанных определенными свойствами. Различают ортогональный и биортогональный КМА. Значение КМА заключается также и в том, что при его помощи мы можем дать более точные определения масштабирующей и вейвлет функциям, а также найти связь между ними.
4.4. Избыточное (redundancy) и безизбыточное преобразования.
Преобразование считается безизбыточным, если в коэффициентах содержится
ровно столько информации, чтобы можно было совершить обратное
преобразование. При анализе сигнала этой информации нам может показаться
мало, а обратное преобразование и не потребоваться. В этом случае прибегают к
избыточному преобразованию. Например, в случае вейвлет-фреймов (см.ниже)
число коэффициентов на каждом уровне может равняться числу отсчетов в
исходном сигнале, а число уровней быть весьма значительным (например, 64,
128).
4.5. Компактный носитель масштабирующей функции или вейвлета. Носитель
- часть области определения функции, где она не равна нулю. Свойство
компактности функций означает, что соответствующие им фильтры будут
фильтрами с конечной импульсной характеристикой, то есть иметь конечное