Типовые задачи для практических занятий

1. Обосновать вид преобразований Фурье для сдвига, масштабирования и производной по времени.

2. Показать, что преобразование Фурье функции есть

.

3. Пусть при . а) Показать, что . б) Определить достаточное условие на для восстановления по . Описать интерполяционный алгоритм.

4. Пусть – обратная функция к , определенная как . а) Доказать, что если имеет конечный носитель, то имеет конечный носитель только в том случае, если при некотором . б) Найти достаточное условие для , чтобы было устойчивым фильтром.

5. Пусть , – оконное преобразование Фурье. Доказать, что .

6 Для вычислить функцию неопределенности .

7. Пусть – четный вещественный вейвлет, такой что . Доказать, что , .

8. Сделать программу, которая синтезирует звук в соответствии с моделью . где амплитуда и фаза вычисляются по хребтам преобразования Фурье с окном или вейвлет-преобразования. Проверьте ваши результаты на стандартных сигналах Tweet (чириканье) и Greasy (вкрадчивый) в WaveLab.

9. Сделать программу, которая изменяет длительность звука по формуле или перестраивает частоту по формуле .

10. Пусть и – вейвлет, симметричный относительно 0. а) Показать, что . б) Найти уравнения кривых максимумов модуля в частотно-временной плоскости . Связать убывание вдоль этих кривых с числом нулевых моментов .

11. Доказать, что если , то число максимумов модуля при каждом масштабе больше или равно числу нулевых моментов .

12. Пусть – вейвлет с комплексным носителем, вычисленный с помощью сопряженных зеркальных фильтров Добеши . Пусть – производный вейвлеты. а) Покажите, что и , определенные формулами , – конечные фильтры импульсного отклика для этих вейвлетов. б)Показать, что Фурье преобразование имеет вид .

13. Для интерполяционного вейвлета Делорье-Дюбюка степени 3 вычислить двойственный вейвлет , который является суммой функций Дирака. Убедитесь, что он имеет 4 нулевых момента.

14. Доказать, что интерполяционная функция Делорье-Дюбюка степени сходится к -функции при стремящемся к .

15. Определим . Доказать, что , если .

16. Цветной пиксель представляется красной, зеленой и голубой компонентами (r,g,b), которые рассматриваются как ортогональные координаты в трехмерном цветовом пространстве. Красные , зеленые и голубые пиксели изображения моделируются как значения трех случайных переменных соответственно R, G, B, которые являются тремя координатами цветного вектора. Численно оценить 3х3 матрицу ковариации этого случайного цветного вектора от нескольких изображений и вычислить базис Кархунена-Лоэва, который ее диагонализирует. Сравнить цветные изображения, восстановленные по двум цветовым каналам Кархунена-Лоэва с наибольшей дисперсией с восстановлением по красному и зеленому каналам.

Поиск по сайту: