Несобственные интегралы по неограниченному промежутку. Теоремы сравнения

Определение. Если существует конечный предел то этот предел называют несобственным интегралом от функции на промежутке и обозначают так

Говорят, что в этом случае интеграл существует/сходится. Если при не имеет конечного предела, то говорят что он расходится/не существует.

Во многих случаях достаточно установить сходится или расходится данный интеграл и оценить его значение. Для этого применяют теоремы сравнения.

Теорема1. Пусть тогда несобственные интегралы и

сходятся или расходятся одновременно. Если сходятся, то справделиво равенство

Доказательство. Следует из аддитивности определенного интеграла по промежутку.

Теорема2.Если F – первообразная к функции f на отрезке то остается справедливой формула Ньютона-Лейбница в виде

Определение. Если интеграл сходится, то сходится и

Последний интеграл – абсолютно сходящийся.

Формула прямоугольников

Дана непрерывная функция на отрезке [a,b]. Требуется вычислить определенный интеграл Разделим отрезок на n равных частей длины точками Обозначим через значения f(x) в этих точках,т.е.

Составим суммы:

Каждая из этих сумм – интегральная сумма для f(x) на отрезке [a,b] и поэтому приближенно вычисляет интеграл.

или

Суть метода прямоугольников для отрезка [a,b] проиллюстрирована на рисунке, при этом площадь под кривой f(x) заменена суммой площадей заштрихованных прямоугольников.

Примечание. Чем больше число шагов n, тем незначительнее ошибка при вычислении интеграла.

Формула трапеций.

Эта формула является более точной по сравнению с формулой прямоугольников, что объясняется заменой ступенчатой линии на вписанную ломаную.

y₁ у₂ у_n

a x₁ x₂ b x

Геометрически площадь криволинейной трапеции заменяется суммой площадей вписанных трапеций.

Площади вписанных трапеций вычисляются по формулам:

После приведения подобных слагаемых получаем формулу трапеций:

Число n выбирается произвольно. Чем больше оно будет, тем меньше будет шаг тем с большей точностью вычисляется значение интеграла.

Выбор числа шагов при заданной точности.

Вычислить приближенное значение с заданной точностью означает, что выполняется неравенство: - приближенное значение, - заданная погрешность.

При вычислениях интеграла погрешность учитывается следующим образом: М – наибольшее значение модуля второй производной на заданном отрезке.

Поиск по сайту: