Свойство3.Если на отрезке[a,b],гдеа<b,функцииf(x) иj(х) удовлетворяют условию то
Доказательство.Рассмотрим разность
Каждая разность
Сл-но, неотрицательно каждое слагаемое, неотрицательны вся сумма и весь предел.
Свойство4.Если m и М – наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a,b] и то
Доказательство.По условию
Подставляя 2 последние выражения в неравенство получаем исходное неравенство.
Свойство5 (теорема о среднем).Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то на этом отрезке найдется такая точка что справедливо равенство:
Доказательство.Пусть a<b, m – наименьшее значение функции, М – наибольшее значение f(x) на отрезке [a,b]. Тогда получаем
Отсюда где
Так как функция непрерывна на отрезке, то она принимает все промежуточные значения, заключенные между m и М. Следовательно, при некотором значении будет то есть
Примечание автора. Доказательство приведено и в одном из следующих вопросов.
Свойство6.Для любых трех чисел a,b,c справедливо равенство если все эти три интеграла существуют.
Доказательство.Допустим сначала, что и составим интегральную сумму для функции f(x) на отрезке [a,b].
Так как предел интегральной суммы не зависит от способа разбиения отрезка, будем разбивать отрезок так, чтобы точка с была точкой деления. Тогда
Переходя к пределу при получим исходное соотношение.
Если на основании доказанного или
Поэтому имеем
Аналогично доказывается это свойство при любом взаимном расположении трех точек.
Свойство определенного интеграла – теорема о среднем. Обобщенная теорема о среднем.
Теорема.Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то на этом отрезке найдется такая точка что справедливо равенство:
Доказательство.Пусть a<b, m – наименьшее значение функции, М – наибольшее значение f(x) на отрезке [a,b]. Тогда получаем
Отсюда где
Так как функция непрерывна на отрезке, то она принимает все промежуточные значения, заключенные между m и М. Следовательно, при некотором значении будет то есть
Геометрический смысл теоремы. Величина определенного интеграла при f(x) ³ 0 равна площади прямоугольника, имеющего высоту f(c) и основание (b–a).
Обобщенная теорема о среднем. Если функции f(x) и j(x) непрерывны на отрезке
[a,b], и функция j(х) знакопостоянна на нем, то на этом отрезке существует точка