Теорема (признак Коши)

Теорема. Если в ряде с положительными членами величина имеет предел при , т.е. то:

1. ряд сходится, при l<1,

2. ряд расходится при l>1.

Доказательство. 1. Пусть l<1.Рассмотрим q, при котором

Начиная с некоторого N ( ) выполняется неравенство

Отсюда следует, что или для всех

Рассмотрим 2 ряда:

Второй ряд сходится, так как его члены образуют убывающую геометрическую прогрессию.

2. Пусть l>1.С некоторого n=N будет иметь место неравенство или

Ряд расходится, так как его общий член не стремится к нулю (все члены больше 1).

Замечание. Как и в признаке Даламбера случай требует дополнительного исследования. Среди рядов, удовлетворяющих этому условию, могут встретиться как сходящиеся, так и расходящиеся ряды.

Теорема (признак Даламбера).

Теорема. Если в ряде с положительными членами отношение последующего члена к предыдущему при имеет предел, т.е. то:

1.ряд сходится, при l<1,

2. ряд расходится при l>1,

3. теорема не дает ответа при l=1.

Доказательство. 1. Пусть l<1.Рассмотрим q, при котором

Начиная с некоторого N ( ) выполняется неравенство

Действительно, так как величина стремится к то разность между ними равняется

Начиная с любого N, получаем систему неравенств:

Складывая таким образом члены последовательности, приходим к выводу, что перед нами геометрическая прогрессия со знаменателем

2. Пусть l>1.Из равенства следует, что при будет иметь место неравенство Это означает, что члены ряда возрастают, поэтому ряд расходится.

Замечание1. Ряд будет расходиться и том случае, когда Это следует из неравенства

Замечание2.Если но отношение то Ряд расходится.

Интегральный признак сходимости.

Теорема. Пусть члены ряда положительны и не возрастают, то есть и пусть f(x)– такая непрерывная невозрастающая функция, что Тогда если несобственный интеграл сходится/расходится, то сходится/расходится и ряд.

Доказательство.

Примечание автора. Необходимы 2 графические иллюстрации.

Из первого графика очевидно

Из второго - откуда

Рассмотрим первый случай (сходится). Предположим, что интеграл сходится , то есть имеет конечное значение. Частичная сумма остается ограниченной при всех значениях n. Но при увеличении n она возрастает, так как все члены положительны. Следовательно, ряд сходится.

Рассмотрим второй случай (расходится). Предположим, что Это значит, что при возрастании n неограниченно возрастает интеграл Тогда в силу неограниченно возрастает. Следовательно, ряд расходится.

Замечание. Ни признак Даламбера, ни признак Коши не решают вопроса о сходимости этого ряда, так как предел равен единице.

Поиск по сайту: