Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Разложение функций в ряд Тэйлора



Формула Тэйлора выглядит следующим образом:

Для разложения какой-либо функции находятся последовательные производные и подставляются в известную формулу.

Отметим также, что каково бы ни было х, остаточный член при

Пример.

Находим последовательные производные.

Подставляя значения, получаем:

36. Ряд Тэйлора для функций

1.

Находим последовательные производные.

Подставляя выражения в формулу Тэйлора получаем:

Таким образом, взяв достаточное число членов, мы можем вычислить значение функции с любой степенью точности.

2.

Находим последовательные производные.

Подставляя значения, получаем:

3.

Аналогично разложению синуса, получаем:

 

37. Ряд Тэйлора для функций

1.

m – произвольное постоянное число.

Здесь оценка остаточного члена представляет некоторые трудности. Поэтому применим несколько другой способ, нежели для разложения функций синуса и косинуса.

Заметим, что удовлетворяет дифференциальному уравнению и условию

Найдем степенной ряд, сумма которого удовлетворяет уравнению и условию.

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х в разных частях равенства:

Для коэффициентов получаем выражения:

Получаем итоговую формулу:

Если m – целое положительное число, то начиная с определенного члена, все коэффициенты равны нулю и ряд превращается в многочлен.

Если m – дробное или целое отрицательное, имеем бесконечный ряд.

2.

Интегрируя равенство в пределах от 0 до х, получаем:

или

Это равенство справедливо в интервале

Выведем формулу для выведения натуральных логарифмов любых целых чисел.

Положим, что

Тогда

Полагая получаем

Итак, подставляя разные значения n, получаем натуральные логарифмы любых чисел.

Пример.

 

Решение дифференциальных уравнений с помощью рядов. Функция Бесселя.

Пусть требуется найти решение дифференц.уравнения 2го порядка удовлетворяющее начальным условиям . Допустим, что решение у=f(x) существует и представимо в виде ряда Тейлора :

Нам нужно найти , т.е. значения производных от частного решения при .

Дифференцируя обе части первоначального уравнения по х получаем: и подставляя значение в правую часть, найдем:

и при x=x0.

Для тех значений х, для которых этот ряд сходится, он представляет решение уравнения.

Уравнение Бесселя.

УБ - дифференциальное уравнение вида:

Решение этого уравнения, следует искать не в форме степенного ряда, а в виде произведения некоторой степени х на степенной ряд:

Перепишем выражение в виде и найдем его производные:

Приравняв коэффициенты при х, получаем систему уравнений. Решив ее, находим при

Поэтому

Общее решение уравнения

функция Бесселя первого рода р-го порядка, решение у1,умноженное на некоторую константу.

функция Бесселя первого рода р-го порядка, решение у2,умноженное на некоторую константу.

При целом положительном бесселева функция определяется, как

Частное решение ищется в форме

Это есть функции Бесселя второго рода n-го порядка.

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.