Для разложения какой-либо функции находятся последовательные производные и подставляются в известную формулу.
Отметим также, что каково бы ни было х, остаточный член при
Пример.
Находим последовательные производные.
Подставляя значения, получаем:
36. Ряд Тэйлора для функций
1.
Находим последовательные производные.
Подставляя выражения в формулу Тэйлора получаем:
Таким образом, взяв достаточное число членов, мы можем вычислить значение функции с любой степенью точности.
2.
Находим последовательные производные.
Подставляя значения, получаем:
3.
Аналогично разложению синуса, получаем:
37. Ряд Тэйлора для функций
1.
m – произвольное постоянное число.
Здесь оценка остаточного члена представляет некоторые трудности. Поэтому применим несколько другой способ, нежели для разложения функций синуса и косинуса.
Заметим, что удовлетворяет дифференциальному уравнению и условию
Найдем степенной ряд, сумма которого удовлетворяет уравнению и условию.
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х в разных частях равенства:
Для коэффициентов получаем выражения:
Получаем итоговую формулу:
Если m – целое положительное число, то начиная с определенного члена, все коэффициенты равны нулю и ряд превращается в многочлен.
Если m – дробное или целое отрицательное, имеем бесконечный ряд.
2.
Интегрируя равенство в пределах от 0 до х, получаем:
или
Это равенство справедливо в интервале
Выведем формулу для выведения натуральных логарифмов любых целых чисел.
Положим, что
Тогда
Полагая получаем
Итак, подставляя разные значения n, получаем натуральные логарифмы любых чисел.
Пример.
Решение дифференциальных уравнений с помощью рядов. Функция Бесселя.
Пусть требуется найти решение дифференц.уравнения 2го порядка удовлетворяющее начальным условиям . Допустим, что решение у=f(x) существует и представимо в виде ряда Тейлора :
Нам нужно найти , т.е. значения производных от частного решения при .
Дифференцируя обе части первоначального уравнения по х получаем: и подставляя значение в правую часть, найдем:
и при x=x0.
Для тех значений х, для которых этот ряд сходится, он представляет решение уравнения.
Уравнение Бесселя.
УБ - дифференциальное уравнение вида:
Решение этого уравнения, следует искать не в форме степенного ряда, а в виде произведения некоторой степени х на степенной ряд:
Перепишем выражение в виде и найдем его производные:
Приравняв коэффициенты при х, получаем систему уравнений. Решив ее, находим при
Поэтому
Общее решение уравнения
функция Бесселя первого рода р-го порядка, решение у1,умноженное на некоторую константу.
функция Бесселя первого рода р-го порядка, решение у2,умноженное на некоторую константу.
При целом положительном бесселева функция определяется, как
Частное решение ищется в форме
Это есть функции Бесселя второго рода n-го порядка.