Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Несобственные интегралы. Определённый интеграл называют собственным интегралом



Определённый интеграл называют собственным интегралом, если промежуток интегрирования конечен, а подынтегральная функция f(x) непрерывна на этом отрезке. В данном разделе рассматриваются так называемые несобственные интегралы, т.е. определённый интеграл от непрерывной функции, но с бесконечным промежутком интегрирования, либо определённый интеграл с конечным промежутком интегрирования, но от функции, имеющей в этом интервале бесконечный разрыв.

Несобственный интеграл I рода (интеграл с бесконечным

промежутком интегрирования)

Пусть подынтегральная функция f(x) непрерывна и ограничена для всех . Несобственный интегралом первого рода обозначается символически как . Несобственным интегралом от функции f(x) на бесконечном промежутке называется предел, если он существует, при определённого интеграла , т.е.

= . (7.21)

Если этот предел существует и он конечен, то несобственный интеграл сходится. Если указанный предел не существует или он бесконечен, то интеграл называется расходящимся.

Аналогичным образом определяется несобственный интеграл на промежутке

= . (7.22)

Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами определяется формулой

= + , (7.23)

где с – произвольное число. В данном случае интеграл слева сходится в том случае, когда сходятся оба интеграла справа.

Примеры.Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:

1. = , интеграл расходится;

2. = = =

= ;

3. = , интеграл расходится, так как при предел не существует.

4. Определить площадь фигуры, ограниченной кривой и осью Ох = =

= .

Рис. 7.19.

Признаки сравнения

Приведём без доказательства один из признаков сходимости несобственных интегралов I рода.

Теорема. Если на промежутке для непрерывных функций удовлетворяется неравенство 0 , то из сходимости интеграла следует сходимость интеграла , из расходимости интеграла следует расходимость интеграла .

Пример.Исследовать сходимость интеграла . Подынтегральная функция в промежутке интегрирования меньше чем , а интеграл является сходящимся. Следовательно, данный интеграл также сходится.

 

Несобственный интеграл II рода (интеграл от разрывной функции)

Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке и имеет бесконечный разрыв в точке х = b . Несобственным интегралом II рода называется конечный предел, если он существует, интеграла . Таким образом, по определению,

. (7.18)

Если предел в правой части существует, то несобственный интеграл сходится. В противном случае несобственный интеграл расходится.

Если функция f(x) имеет разрыв в точке с на промежутке [a, b], то несобственный интегралом II рода определяется формулой

.

В этом случае интеграл слева сходится, если оба несобственных интегралов справа являются сходящимися.

Примеры.Вычислить или установить сходимость несобственного интеграла:

1. . При х = 1 функция терпит бесконечный разрыв.

=

2. . При х = 0 функция терпит бесконечный разрыв.

= ,

интеграл расходится.




©2015 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.