 |
|
|
Архитектура Астрономия Аудит Биология Ботаника Бухгалтерский учёт Войное дело Генетика География Геология Дизайн Искусство История Кино Кулинария Культура Литература Математика Медицина Металлургия Мифология Музыка Психология Религия Спорт Строительство Техника Транспорт Туризм Усадьба Физика Фотография Химия Экология Электричество Электроника Энергетика |
Понятие определённого интегралаСтр 1 из 7Следующая ⇒
Определённый интеграл Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция y = f(x). Разобьем отрезок [a, b] на части (не обязательно одинаковые) n точками. x0 < x1 < x2 < … < xn Тогда x1 – x0 = Dx1, x2 – x1 = Dx2, … ,xn – xn-1 = Dxn – длины частных отрезков. На каждом из полученных частных отрезков [xi-1, xi], i = 1, 2,…, n выберем произвольную точку Рис. 7.1. Составим выражение Sn , которое называется интегральной суммой для функции y = f(x) на отрезке [a, b]. Sn = f(c1)Dx1 + f(c2)Dx2 + … + f(cn)Dxn = Обозначим λ длину наибольшего частичного отрезка: Если при любых разбиениях отрезка [a, b] на частичные таких, что maxDxi® 0 и произвольном выборе точек сi интегральная сумма Таким образом, Числа а и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, х – переменной интегрирования, [a, b] – отрезком интегрирования, f(x)- подынтегральной функцией, Функция у = f(x), для которой на отрезке [a, b] существует определённый интеграл Из рисунка 7.1. видно, что сумма произведений Sn = S ≈ Sn = С уменьшением всех величин Dxi криволинейной трапеции ступенчатой фигурой увеличивается. Поэтому за точное значение площади криволинейной трапеции принимается предел S , к которому стремится площадь ступенчатой фигуры Sn , когда n неограниченно возрастает так, что
Таков геометрический смысл определённого интеграла.
Теорема (Коши). Если функция у = f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема на этом отрезке. Существуют и иные теоремы математического анализа, определяющие классы функций, интегрируемых на отрезке [a, b]. В частности таковыми являются: · непрерывные на отрезке [a, b] функции; · ограниченные на отрезке [a, b] функции, имеющие конечное число точек разрыва; · монотонные на отрезке [a, b] функции. Основные свойства определённого интеграла Рассмотрим основные свойства определённого интеграла, считая подынтегральную функцию интегрируемой на отрезке [a, b] 1) 2) 3) 4) 5) Для произвольных чисел a, b, c справедливо равенство:
сумме интегралов по частям этого отрезка. 6) Если функция f(x) сохраняет знак на отрезке [a, b], где a < b, то интеграл 7) Если f(x) £ j(x) на отрезке [a, b] (a < b), то 8) Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a, b] (a < b), то:
9) Теорема о среднем. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то на этом отрезке существует точка
Доказательство: В соответствии со свойством 8:
или т.к. функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она принимает на этом отрезке все значения от m до М. Другими словами, существует такое число сÎ [a, b], что m = f(с), т.е. 10) Производная определённого интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена этим пределом
Доказательство: пусть функция у = f(x) интегрируема на отрезке [a, b]. Вводится обозначение суммы
По теореме о среднем (свойство 9) Далее вычислим производную функции
Поиск по сайту: |
и найдем значение функции в этой точке, т.е. f(сi ) (см. рис. 7.1).
.
(i = 1, 2,…, n). Найдём предел интегральной суммы, когда 
так, что 
.
стремится к пределу I , то это число называется определенным интегралом от функции y=f(x) на отрезке [a, b] и обозначается 
= 
. (7.1)
- подынтегральным выражением.
называется интегрируемой на этом отрезке.
= 
(С – const) , т.е. постоянный множитель С можно выносить за знак определённого интеграла.
, т.е. интеграл от суммы (разности) равен сумме (разности) интегралов.
.
.
, т.е. интеграл по всему отрезку равен 
имеет тот же знак, что и функция. Так если 
на отрезке [a, b] , то 
.
, т.е. неравенство между непрерывными функциями на отрезке [a, b] (a < b) можно интегрировать.
такая, что
.
. Обозначим 
.
или 
, здесь 
. Рассмотрим три точки отрезка [a, b]: а , х, х + Δх ( 
) и определим разность 
. По свойству 5 определённых интегралов первый интеграл правой части можно представить в виде
. В результате
.
, 
.
.