Непрерывность функции в точке

Определение. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в некоторой окрестности точки и = .

Иначе: функция называется непрерывной в точке , если она определена в некоторой окрестности точки и её предельное значение в этой точке совпадает с частным значением .

Вспоминая определение предела функции в точке на языке , дадим соответствующую формулировку непрерывности функции в точке:

Определение.Функция называется непрерывной в точке , если она определена в некоторой окрестности точки и если для любого можно найти такое , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство

.

Рассмотрим непрерывную кривую - график непрерывной функции . Термин «непрерывная кривая» здесь употреблен в интуитивном смысле - такую кривую можно начертить, не отрывая карандаша от бумаги.

Зададим значение аргумента , ему соответствует значение нашей функции. Зададим произвольно и проведем параллельно оси прямые . Легко видеть, что для нашей кривой всегда можно подобрать такое (зависящее от ), что для всех , принадлежащих интервалу , соответствующие ординаты кривой будут удовлетворять неравенствам . Ясно, что зависит от : чем более узкой зададим полоску , тем более близкие к надо брать значения аргумента.

Таким образом, математическое определение непрерывности функции отвечает интуитивному понятию непрерывной кривой.

Пример 1. С помощью «e-d» рассуждений доказать непрерывность функции в точке .

Решение. По определению, функция непрерывна в точке , если для такое, что для выполняется неравенство . Вычислим частное значение функции . Зададим произвольное и подберём соответствующее из условия

.

Значит, в качестве можно взять любое положительное число, не превосходящее , т.е. . Действительно, для всех значений аргумента , попадающих в эту -окрестность точки , соответствующие значения функции оказываются в заданной -окрестности точки :

что и требовалось доказать.▲

Пример 2.Исследовать на непрерывность функцию .

Решение. Функция определена на всей числовой прямой. Слева от точки функция задана соотношением – это непрерывная функция. Справа от точки функция задана соотношением – это также непрерывная функция. Остается проверить, непрерывна ли заданная функция в точке «склеивания» ., то есть выполняется ли в этой точке условие непрерывности . Находим частное значение функции: . Чтобы найти предельное значение функции в точке , вычислим оба односторонних предела:

слева ,

справа .

Получили , а это значит, что в точке предельное значение данной функции существует и равно . Значит, в точке «склеивания» условие непрерывности выполнено – заданная функция непрерывна на всей числовой прямой. ▲

Следствие. Функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда в этой точке существуют конечные значения и все три числа равны между собой.

Если функция, заданная в окрестности точки , не является непрерывной в точке , то есть для нее не выполняется сформулированные выше условия, то говорят, что она разрывнав точке .

Естественно, если функция определена только в «проколотой окрестности» точки (т.е. не существует частного значения функции в этой точке), то функция разрывна в этой точке.

Характер разрыва (его классификация) определяется поведением функции в окрестности точки разрыва. Рассмотрим соответствующие примеры.

Пример 2. Исследовать на непрерывность функцию

а) ; б) .

Решение. а) Так как и числитель, и знаменатель непрерывны на всей числовой прямой; то для частного непрерывность может нарушаться лишь в точках, где знаменатель обращается в нуль (т.е. функция не определена). Значит, - единственная точка разрыва для данной функции. Для выяснения характера разрыва найдём односторонние пределы:

Оба односторонних предела существуют и конечны. В этом случае говорят, что в точке заданная функция терпит разрыв первого рода. Так как левое и правое предельные значения равны , то разрыв называется устранимым.Для его устранения доопределимфункцию в точке , полагая . График заданной функции представляет собой прямую с выколотой точкой (2,4). Добавление условия приводит к функции , для которой в точке выполнено условие непрерывности.

б) В первой строке записана функция , не определённая в точке , но имеющая в этой точке предельное значение:

.

Но заданное во второй строке частное значение функции не совпадает с предельным значением: . Условие непрерывности в точке нарушено. Как и в предыдущем примере, здесь имеем разрыв первого рода, устранимый. Для его устранения надо переопределитьфункцию в точке разрыва, приписав ей вместо заданного значения требуемое для непрерывности значение .

Пример 4. Исследовать на непрерывность функцию

Решение. Функция определена на всей числовой прямой; слева от точки она задана выражением « », т.е. непрерывна как линейная функция; справа от этой точки функция задана выражением « » - она непрерывна как многочлен второй степени. Таким образом, единственной точкой, где возможен разрыв, является точка «склейки» . Для выяснения наличия разрыва вычислим частное значение функции в точке и найдём односторонние пределы:

Условие непрерывности выполняется, если равны все три числа .

Значит, при функция

непрерывна на всей числовой прямой.

В случае получаем , т.е. оба односторонних предела существуют и конечны, но не равны между собой. В этом случае говорят, что заданная функция в точке терпит разрыв первого рода типа скачка, величина скачка равна . Предлагаем дополнить приведенное исследование графиком.

Пример 5.Исследовать на непрерывность функцию

Решение. Функция определена на всей числовой прямой; разрыв имеется только в точке . Найдём

т.е. . Значит, в этой точке имеем разрыв первого рода, а именно, скачок, величина которого равна

.▲

Пример 6. Исследовать на непрерывность функцию .

Решение. Заданная функция представляет собой суперпозицию двух функций:

.

Внешняя функция – показательная – непрерывна на всей числовой прямой, внутренняя функция – дробно-линейная – разрывна в точке , где знаменатель обращается в нуль.

Значит, сложная функция непрерывна всюду, кроме точки . Выясним характер разрыва, для чего найдём односторонние пределы:

На рисунке представлен фрагмент графика функции для значений аргумента из окрестности точки . Одно из предельных значений (правое) в точке бесконечно. В этом случае говорят, что функция в точке терпит разрыв второго рода (бесконечный). Прямая является вертикальной асимптотой графика функции.▲

Пример 7. Исследовать на непрерывность функцию .

Решение. Так как внутренняя функция не определена при , а внешняя функция – синус – всюду непрерывна, то сложная функция терпит разрыв в точке . Выше (пример 5 п.1) было показано, что у функции не существует предельного значения при . И в этом случае говорят, что функция в точке терпит разрыв второго рода. ▲

Таким образом, если в точке разрыва функции существуют конечные односторонние пределы, то имеем разрыв первого рода (устранимый или скачок). Если же хотя бы один из односторонних пределов не существует или бесконечен, то имеем разрыв второго рода.

Поиск по сайту: