Односторонние пределы функций

Предел функции.

Определение 1(Гейне). Пусть функция определена на некотором интервале , кроме, быть может, точки . Число A называется пределом функции при , если для любой последовательности значений аргумента , сходящейся к и такой, что , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу :

.

Тот факт, что есть предел функции при (в точке ), будем записывать следующим образом:

.

Из определения следует, что значения функции в точках , лежащих вне некоторой окрестности точки , и значение функции в точке не влияют ни на существование, ни на величину предела функции в точке .

Пример 1. Покажем, что функция имеет предельное значение в каждой точке бесконечной прямой. В самом деле, для любой сходящейся к последовательности значений аргумента соответствующая последовательность значений функции имеет вид , т.е. сходится к . Значит, предельное значение функции в любой точке равно .▲

Пример 2. Функция в каждой точке бесконечной прямой имеет предельное значение . Действительно, пусть - любая сходящаяся к последовательность значений аргумента. Соответствующая последовательность значений функции имеет вид , т.е. сходится к . Значит, предельное значение функции в любой точке равно .▲

Пример 3. Найти предел функции (рис.1) в точке .

Решение. Будем рассматривать данную функцию в некоторой окрестности точки , например, на интервале . Функция определена всюду на указанном интервале, в том числе и в точке . Возьмем какую-нибудь последовательность значений аргумента , и рассмотрим соответствующую последовательность значений функции . На основании теорем о пределе последовательности имеем

.

Ввиду произвольности выбранной последовательности согласно определению предела функции в точке .▲

Пример 4. Найти предел функции (рис.2) в точке .

Решение. В точке функция не определена. Будем рассматривать функцию в некоторой окрестности точки , например, на интервале . Возьмем какую-нибудь последовательность значений аргумента сходящуюся к точке : и рассмотрим соответствующую последовательность значений функции :

.

На основании теорем о пределах последовательностей имеем

.

Ввиду произвольности выбранной последовательности согласно определению предела функции в точке получаем .

Заметим, что функции и тождественны всюду, кроме точки , где функция не определена.▲

Для того чтобы доказать, что функция не имеет предела в точке , достаточно указать какую-нибудь сходящуюся к последовательность значений аргумента чтобы соответствующая последовательность значений функции не имела предела (или указать такие две сходящиеся к последовательности и , что и имеют разные пределы).

Пример 5. Пусть (рис.3). Выяснить, существует ли .

Решение. Возьмем две последовательности значений аргумента и : и . Очевидно, , . В точках последовательности заданная функция принимает значение , а в точках последовательности - значение . Поэтому , , то есть . Значит, не существует. ▲

Определение 2(Коши). Пусть функция определена на некотором интервале , кроме, быть может, точки . Число A называется пределом функции при , если для любого найдется такое , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Это определение коротко можно записать с помощью кванторов:

.

Пример 6. Показать, что .

Решение. Зададим произвольное . Мы должны найти такое , чтобы из неравенства вытекало неравенство . Преобразуем последнее неравенство:

Решая это неравенство относительно , находим . Значит, в качестве можно взять (или любое меньшее число). В самом деле,

,

а это согласно определению и означает, что .▲

Пример 7. Самостоятельно показать, что .▲

Односторонние пределы функций.

Определение.Пусть функция определена на интервале . Число называется пределом слева функции в точке (при ), если для любого существует такое , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство . Предел слева обозначают .

Аналогично, в случае, когда функция определена на интервале , вводится понятие предела справа. Предел справа обозначают так:

.

Теорема. Функция имеет предел в точке тогда и только тогда, когда в этой точке существуют пределы слева и справа и они равны, то есть

= .

Пример 1. Покажем, что функция

имеет в точке и правое, и левое

предельные значения.

Решение. Действительно, пусть - любая сходящаяся к нулю последовательность значений аргумента, элементы которой . Соответствующая последовательность значений функции имеет вид , т. е. сходится к 1. Если элементы сходящейся к нулю последовательности отрицательны, то им соответствует последовательность значений функции , сходящаяся к -1. А это в силу определения и означает, что

Таким образом, функция имеет в точке и правое, и левое предельные значения, но они не совпадают: . Поэтому в точке не имеет предельного значения. ▲

Для функций, область определения которых - интервал или , вводится понятие предела при или при .

Определение.Число называют пределом функции при , если для любого существует такое , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Этот предел обозначают .

Определение.Число называют пределом функции при , если для любого существует такое , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Этот предел обозначают .

Для односторонних пределов справедливы теоремы о пределе суммы, разности, произведения, частного.

Пример 2.Записать на языке кванторов, дать геометрическую интерпретацию

1. при , 2. при ,

3. при , 4. при .

Решение. 1. а) Сначала запишем на языке « » утверждение: «предел функции равен 3 при стремлении аргумента к 1»:

.

Раскроем модули: ; .

б) По условию, аргумент стремится к точке 1 справа, оставаясь больше 1; при этом функция стремится к своему предельному значению 3, оставаясь меньше этого значения. Другими словами, попадание аргумента в правую -окрестность точки 1 гарантирует попадание значений функции в левую (нижнюю) -окрестность точки 3:

Эскиз графика функции расположен в прямоугольнике .

2. а) Запишем на языке « » утверждение: «функция стремится

к бесконечности при стремлении аргумента к 2»:

и раскроем модули в неравенствах:

;

.

б) По условию, аргумент стремится к точке 2, оставаясь меньше 2; при этом функция , оставаясь положительной, неограниченно возрастает. Это значит, что попадание аргумента в левую -окрестность точки 2 гарантирует выполнение неравенства

.

Эскиз графика функции расположен в полуполосе .

Прямая - вертикальная асимптота графика функции.

3. а) .

Раскроем модули в неравенствах:

.

б) По условию, аргумент стремится к отрицательной бесконечности, при этом функция стремится к своему предельному значению 3, оставаясь больше 3. Иначе, если для аргумента выполняется неравенство , это гарантирует попадание значений функции в правую (верхнюю) -окрестность точки 3:

.

Эскиз графика функции расположен в полуполосе ,

прямая - горизонтальная асимптота графика функции.

4. ,

поэтому

.

Эскиз графика функции расположен внутри угла .

Поиск по сайту: