Некоторые приемы вычисления пределов

1) Неопределённость вида . Отношение многочленов.

Пример 1. Покажем, что в каждой точке бесконечной прямой функция имеет предельное значение, равное .

Решение. Действительно, в силу теоремы о пределе произведения а в силу теоремы о пределе суммы

▲ Пример 2. Найти предел алгебраической дроби , когда

а) б) в)

Решение. а). Согласно предыдущему

В силу теоремы о пределе частного (мы вправе её применить, т.к. предел знаменателя отличен от нуля) запишем:

б). В этом случае , т.е. в точке числитель - бесконечно малая функция.

Найдем предел знаменателя:

В результате получаем бесконечно малую в точке функцию:

в). Здесь в точке числитель имеет конечный и отличный от нуля предел: а знаменатель в этой точке - бесконечно малая функция: . В результате получаем бесконечно большую в точке функцию:

▲

Пример 3. Найти предел алгебраической дроби при

Решение. Т.к. и и то получаем неопределённость вида . Непосредственно воспользоваться теоремой о пределе частного не имеем права. Поэтому сначала разложим квадратные трёхчлены на множители и представим дробь в виде = , а затем (вспоминая, что в определении предела функции аргумент , но ) сократим на отличный от нуля множитель . Окончательно получаем

.▲

Пример 4. Найти предел дроби при .

Решение . Здесь, как и в предыдущем примере, в точке и числитель, и знаменатель являются бесконечно малыми функциями:

.

Поэтому выделим в числителе и в знаменателе множитель , с полным правом ( но ) сократим на него и перейдём к пределу:

.▲

Переходя к общему случаю, изучим поведение отношения двух многочленов

при стремлении переменной к конечному числу . Повторяя рассуждения, приведенные в примере 1, легко получить, что предельное значение многочлена в точке существует и равно его частному значению в этой точке:

Поэтому в случае имеем право воспользоваться теоремой о пределе частного:

.

Если , но , то при приближении к отношение неограниченно увеличивается: .

Нас особенно интересует случай, когда и , и , т.е. является нулем и числителя, и знаменателя. Тогда представляет собой неопределённость вида . Согласно известной из алгебры теореме Безумногочлен, который обращается в нуль при , делится без остатка на (верно и обратное утверждение). Значит, для раскрытия неопределённости надо и в числителе, и в знаменателе выделить «носитель нуля» - бесконечно малую в точке функцию , а затем сократить на этот множитель.

Пример 5. Вычислить .

Решение. И в числителе, и в знаменателе «носителем нуля» является множитель . Выделим этот множитель. В числителе вынесем за скобки и представим разность квадратов как произведение разности первых степеней на сумму первых степеней: .

В знаменателе разность кубов представим как произведение разности первых степеней на неполный квадрат суммы: .

Получаем . После сокращения на множитель остается

.▲

Пример 6. Вычислить .

Решение. И в числителе, и в знаменателе «носителем нуля» является множитель . Выделим этот множитель в числителе:

.

Здесь сумма кубов представлена как произведение суммы первых степеней на неполный квадрат разности.

В знаменателе .

Получаем . После сокращения на множитель остается

.▲

Пример 7.Вычислить .

Решение. И в числителе, и в знаменателе «носителем нуля» является множитель . Выделим этот множитель в числителе:

В знаменателе:

Значит, .

Сокращаем на множитель и вычисляем предел:

▲

Пример 8. Вычислить .

Решение В числителе множитель можно выделить, разлагая по биному Ньютона: . Тогда

.

После сокращения на множитель получаем

Пример 9. Вычислить

Решение . И здесь воспользуемся биномом Ньютона:

.

Теперь легко выделить множитель и сократить на него:

▲

Поиск по сайту: