Первый замечательный предел

При вычислении пределов используется непрерывность элементарных функций в области их определения и теоремы о пределе суммы, разности, произведения и частного.

Пример 1. Вычислить

а) ; б) ; в) .

Решение. а) Так как функции и в числителе, и в знаменателе непрерывны, то , .

В силу теоремы о пределе частного получаем

.

б) Здесь ,

поэтому .

в) Так как - числитель стремится к конечному и отличному от нуля пределу, а - знаменатель в точке является бесконечно малой функцией, то частное в этой точке - бесконечно большая функция: = .▲

Особое внимание следует уделить случаю, когда и числитель, и знаменатель стремятся к нулю при , т.е. частное представляет в этой точке неопределённость вида .

Теорема. Предельное значение функции в точке существует и равно единице (первый замечательный предел):

. (1)

Обращаем внимание на тот факт, что отношение стремится к единице только при стремлении аргумента к нулю. Это наглядно представлено на графике функции

Еще один рисунок наглядно показывает, как мало различаются функции и в окрестности точки ( и только в окрестности этой точки).

Пределу (1) можно придать другую форму, если заменить . Тогда

, при , поэтому

или .

Теорема о пределе произведения позволяет получить ещё одну форму первого замечательного предела:

. Значит, и .

И снова обращаем внимание на тот факт, что отношение стремится к единице только при стремлении аргумента к нулю. Это наглядно представлено на графике функции .

Еще один рисунок наглядно показывает, как мало различаются функции и в окрестности точки ( и только в окрестности этой точки).

Рекомендуем нарисовать графики пар функций и ; и . Обратите внимание на близость этих графиков для значений аргумента в окрестности точки =0.

Все приведенные соотношения справедливы и при замене на , если при :

Если при вычислении предела отношения тригонометрических функций возникает неопределённость вида , то её можно раскрыть с помощью первого замечательного предела.

Пример 2.Вычислить .

Решение.

.

Можно и не записывать замены аргумента, а просто уравнивать коэффициенты:

.▲

Пример 3.Вычислить .

Решение. .▲

Пример 4.Вычислить .

Решение. К первому замечательному пределу приводит формула :

.▲

Пример 5.Найти предел дроби а) при , б) при .

Решение.

а) .

б) . Здесь аргумент стремится не к 0, поэтому нельзя непосредственно воспользоваться формулой (1). Перенесём начало координат в точку , т.е. сделаем замену . Тогда при новая переменная и можем записать

▲

Пример 6.Вычислить .

Решение. Здесь тоже необходима замена: , при новая переменная . Тогда

.▲

Пример 7.Вычислить .

Решение. Здесь можно было ввести новую переменную , которая стремится к 0 при . Но мы предлагаем преобразовать разность синусов в произведение:

▲

Пример 8.Вычислить .

Решение. После избавления от иррациональности получаем первый замечательный предел:

▲

Поиск по сайту: