Шарнірно-консольній балці.

Визначення переміщень у статично визначеної

Приклад розрахунку.Для заданої шарнірно-консольній балки (рис. 4.1а) постійної жорсткості треба знайти в перерізі «к» вертикальне переміщення та кутове переміщення – кут повороту.

1. Знайдемо ступень статичної визначеності заданої балки за допомогою формули Чебишева

,

W=0 свідчить про те, що балка є статично визначеною.

2. Будуємо поверхову схему (рис.4.1б). На першому етапі аналітичного розрахунку будемо розглядати допоміжну балку АС. На другому етапіаналітичного розрахунку розглянемо основну балку ВD (беремо до уваги як власне навантаження, так і вплив вище розташованої допоміжної балки).

Рис.4.1

Частина 1. Визначення вертикального переміщення.

Для визначення вертикального переміщення в перерізі «к» необхідно розглянути два стана системи: дійсний стан від заданого навантаження (рис. 4.1а) та допоміжний стан з прикладеною у напрямі переміщення, яке необхідно знайти, вертикальною одиничною силою (рис. 4.2а).

3. Будуємо епюру згинальних моментів першого стану. Остаточна епюра згинальних моментів зображена на рис.4.1в (детальніше аналітичний розрахунок багато пролітної статично визначеної балки було розглянуто у РПР №1).

Рис. 4.2

Перевіркарівноваги балки в цілому:

Похибка дорівнює нулю.

4. Будуємо епюру згинальних моментів другого стану (рис. 4.2б).

Перевіркарівноваги балки в цілому:

Похибка дорівнює нулю.

5. Оскільки необхідно знайти переміщення у балці – системі, яка працює на згин, від зовнішнього навантаження, використовуємо перший член формулі Максвелла-Мора, який враховує згинальні моменти:

,

где t – число ділянок, де перемножуються епюри.

Використаємо правило Верещагіна, а також формули трапецій та формулу Сімпсона для обчислювання інтегралів (додаток 1). Для цього розіб’ємо балку на 5 ділянок (KA, AF,FB, BD, DE) на яких згинальні моменти, що перемножуються, не мають зломів.

= .

Жорсткість винесена з під знаку інтегралу у зв’язку з тім, що по умовам прикладу вона є постійною на усіх ділянках балки.

Площі та координати центра ваги різноманітних простих фігур (епюр) наведені у додатку 2.

Ділянка KA. Так як на цій ділянці епюри та мають простий вигляд, то використовуємо правило Верещагіна: - площа криволінійної епюри , яка має обрис квадратичної параболи; - ордината з трикутної епюри , яка береться під центром ваги площі криволінійної епюри :

.

Ділянки AF таFВ. Так як на цих ділянках прямолінійні епюри та мають складний вигляд, і потребують для подальшого використання правила Верещагіна розкладання на прости епюри (додаток 3) з метою визначення положення центра ваги та площі кожної з них, будемо використовувати формулу трапецій:

;

.

Ділянка BD. Так як на цій ділянці криволінійна епюра та прямолінійна епюра також мають складний вигляд, і потребують для подальшого використання правила Верещагіна розкладання на прости епюри, будемо використовувати формулу Сімпсона:

.

Ділянка DЕ. Так як на цій ділянці епюри згинальні моменти дорівнюють «нулю», то згідно правила Верещагіна маємо: .

Остаточно маємо вертикальне переміщення :

= (м).

Оскільки результат додатний, точка «К» переміститься в напрямі дії одиничної сили.

Частина 2. Визначення кутового переміщення.

6. Для визначення кутового переміщення в перерізі «к» необхідно розглянути допоміжний стан системи з прикладеним в перерізі «к» у довільному напрямі зосередженим одиничним моментом (рис.4.3а). Остаточна епюра згинальних моментів зображена на рис.4.3б.

Перевірка рівноваги балки в цілому:

Похибка дорівнює нулю.

7. Розіб’ємо балку на 5 ділянок (KA, AF, FB, BD, DE) на яких згинальні моменти та не мають зломів.

= .

Ділянка KA. Так як на цій ділянці епюри згинальні моменти дорівнюють «нулю», то згідно правила Верещагіна маємо .

Ділянки AF таFВ. Так як на цих ділянках прямолінійна епюра має складний вигляд, будемо використовувати формулу трапецій:

.

.

Рис.4.3

Ділянка BD. Так як на цій ділянці криволінійна епюра та прямолінійна епюра мають складний вигляд, будемо використовувати формулу Сімпсона:

.

Ділянка DЕ. Так як на цій ділянці епюри згинальні моменти дорівнюють «нулю», то згідно правила Верещагіна отримуємо .

Остаточно маємо кутове переміщення – кут повороту :

= (рад).

Від’ємне значення кута повороту перерізу «К» свідчить про те, що переріз повертається не в напрямі зосередженого одиничного моменту, а в протилежному напрямі, тобто проти ходу годинникової стрілки.

Додаток 1

Правило Верещагіна: , - площа криволінійної епюри , - ордината під центром ваги криволінійної епюри, взята з прямолінійної епюри . Якщо обидві епюри, що перемножуються, прямолінійні, то немає значення площу якої брати. Якщо епюри, що перемножуються, розташовані по один бік від осі стержня, то результат буде додатний, якщо по різні – від’ємний.

В тих випадках, коли прямолінійні епюри, що перемножуються, мають складні обриси, доцільно користуватися формулою трапеції Епюра Епюра .

В тих випадках, коли одна з епюр, що перемножуються, має складний криволінійний обрис, можливо ви користування формули Сімпсона Епюра Епюра .

Кожну з ординат, що перемножуються, в формулах трапеції та Сімпсона необхідно підставляти зі своїм знаком.

Додаток 2

Поиск по сайту: