МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. 1 КУРС геофиз. (ЗАОЧНОЕ ОТДЕЛЕНИЕ)

2015/2016

Основная литература

1. В.А.Ильин, Э.Г.Позняк. Основы математического анализа, часть 1,2; 2001

2. Данко П. Е., Попов А.Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть 1, 2; 2005.

Дополнительная литература

1. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу. М., Высшая школа, 1999.

2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. М., Наука, 1988 (Дрофа, 2007).

3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. ФКП. М., Наука, 1985 (Дрофа, 2005).

4. Сборник задач по математике для вузов: В 2 ч. /Под ред. А.В. Ефимова, Поспелова.
М.: Наука, 1986.4.1,2.

5. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ: В 2 т. М.:Высш. шк., 1988. Т. 1-2. Задачи и упражнения по математическому анализу /Под ред. Б.П. Демидовича. М.: Наука, 1990.

Раздел 1. Функции и пределы.Предел последовательности, число е, предел функции, бесконечные пределы, бесконечно малые, бесконечно большие и неограниченные функции, сравнение бесконечно малых функций, непрерывные функции и их свойства, непрерывность сложной функции, классификация точек разрыва.

Раздел 2. Дифференциальное исчисление. Производные и дифференциалы. Производные элементарных функций. Таблица производных. Уравнения касательной и нормали к плоской кривой. Производная сложной функции, дифференцирование функций: обратной, неявной, параметрически заданной, вектор-функции. Дифференциал функции, его геометрический смысл, свойства, производные и дифференциалы высших порядков. Формулы конечных приращений Лагранжа и Коши, правило Лопиталя, формула Тейлора. Локальный экстремум функции, его исследование с помощью первой и второй производной, выпуклость функции, точки перегиба, асимптоты. Построение графиков с использованием первой и второй производных. Прикладные задачи из физики и химии.

Раздел 3. Интегральное исчисление.

Неопределенный интеграл. Первообразная, неопределенный интеграл и его свойства, таблица основных неопределенных интегралов. Интегрирование по частям, замена переменной, интегрирование рациональных функций, простейших и иррациональных и трансцендентных функций.

Определенный интеграл. Интегральные суммы, определенный интеграл, его геометрический смысл, основные свойства, теорема о среднем, формула Ньютона-Лейбница. Приложения: вычисление площади фигуры, длины дуги, работы, примеры из физической и коллоидной химии. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования, интегралы от неограниченных функций, абсолютная сходимость несобственного интеграла, преобразование Лапласа как несобственный интеграл.

Раздел 4. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Предел и непрерывность функции n переменных. Частные производные и дифференциалы первого и более высоких порядков. Экстремум функции двух переменных, условный экстремум, метод множителей Лагранжа. Дифференциальная геометрия ФНП – касательная к пространственной линии, касательная плоскость и нормаль к поверхности, дифференцирование неявной функции, скалярные и векторные поля, градиент и производная по направлению.

Раздел 5. Интегральной исчисление функций нескольких переменных. Двойной интеграл: определение, свойства, вычисление, замена переменных, приложения. Тройной интеграл, определения и свойства, вычисление, замена переменных, приложения. Криволинейные интегралы по длине дуги и по координатам, их вычисление и приложения. Циркуляция векторного поля, формула Грина, интегралы по поверхности, дивергенция, ротор. Формулы Гаусса-Остроградского и Стокса, операторы Лапласа и Гамильтона.

Раздел 6. Ряды. Последовательности и ряды, теорема Вейерштрасса, сходимость числовых рядов, необходимый признак сходимости. Признаки сходимости рядов с положительными членами: сравнение, признак Даламбера, Коши, интегральный признак. Знакочередующиеся ряды, признак Лейбница, абсолютная и условная сходимость, действия над рядами. Функциональные ряды, степенные ряды, теорема Абеля, радиус и интервал сходимости, ряд Тейлора, разложение основных элементарных функций в степенные ряды. Ряд Фурье, формулы для вычисления коэффициентов, ряды Фурье четных и нечетных периодических функций, теорема Дирихле. Ряд Фурье в комплексной форме, интеграл Фурье, преобразование Фурье.

Вопросы по дисциплине «Математический анализ» для зачета и экзамена:

1. Предел последовательности, число е.

2. Предел функции, бесконечные пределы, бесконечно малые, бесконечно большие и неограниченные функции, сравнение бесконечно малых функций.

3. Непрерывные функции и их свойства, непрерывность сложной функции, классификация точек разрыва.

4. Производные элементарных функций. Таблица производных. Уравнения касательной и нормали к плоской кривой.

5. Производная сложной функции, дифференцирование функций: обратной, неявной, параметрически заданной.

6. Дифференциал функции, его геометрический смысл, свойства, производные и дифференциалы высших порядков.

7. Формулы конечных приращений Лагранжа и Коши, правило Лопиталя, формула Тейлора.

8. Локальный экстремум функции, его исследование с помощью первой и второй производной, выпуклость функции, точки перегиба, асимптоты.

9. Построение графиков с использованием первой и второй производных.

10. Первообразная, неопределенный интеграл и его свойства, таблица основных неопределенных интегралов.

11. Интегрирование по частям, замена переменной, интегрирование рациональных функций.

12. Интегрирование простейших и иррациональных и трансцендентных функций.

13. Интегральные суммы, определенный интеграл, его геометрический смысл, основные свойства, теорема о среднем, формула Ньютона-Лейбница.

14. Приложения: вычисление площади фигуры, длины дуги, работы.

15. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования, интегралы от неограниченных функций.

16. Предел и непрерывность функции n переменных.

17. Частные производные и дифференциалы первого и более высоких порядков.

18. Экстремум функции двух переменных, условный экстремум, метод множителей Лагранжа.

19. Дифференциальная геометрия ФНП – касательная к пространственной линии, касательная плоскость и нормаль к поверхности, дифференцирование неявной функции, скалярные и векторные поля, градиент и производная по направлению.

20. Двойной интеграл: определение, свойства, вычисление, замена переменных, приложения.

21. Тройной интеграл, определения и свойства, вычисление, замена переменных, приложения.

22. Криволинейные интегралы по длине дуги и по координатам, их вычисление и приложения. Циркуляция векторного поля, формула Грина.

23. Интегралы по поверхности, дивергенция, ротор. Формулы Гаусса-Остроградского и Стокса.

24. Последовательности и ряды, теорема Вейерштрасса, сходимость числовых рядов, необходимый признак сходимости.

25. Признаки сходимости рядов с положительными членами: сравнение, признак Даламбера, Коши, интегральный признак.

26. Знакочередующиеся ряды, признак Лейбница, абсолютная и условная сходимость, действия над рядами.

27. Функциональные ряды, степенные ряды, теорема Абеля, радиус и интервал сходимости, ряд Тейлора, разложение основных элементарных функций в степенные ряды.

28. Ряд Фурье, формулы для вычисления коэффициентов, ряды Фурье четных и нечетных периодических функций, теорема Дирихле. Ряд Фурье в комплексной форме, интеграл Фурье, преобразование Фурье.

Поиск по сайту: