В Maple имеется пакет student, предназначенный для обучения математике. Он содержит набор подпрограмм, предназначенных для выполнения расчетов шаг за шагом, так, чтобы была понятна последовательность действий, приводящих к результату. К таким командам относятся интегрирование по частям inparts и замена переменной changevar.
Формула интегрирования по частям:
Если обозначить подынтегральную функцию f=u(x)v’(x), то параметры команды интегрирования по частям такие: intparts(Int(f, x), u),гдеu– именно та функция u(x), производную от которой предстоит вычислить по формуле интегрирования по частям.
Если в интеграле требуется сделать замену переменных x=g(t) или t=h(x), то параметры команды замены переменных такие: changevar(h(x)=t, Int(f, x), t),гдеt- новая переменная.
Обе команды intparts и changevarне вычисляют окончательно интеграл, а лишь производят промежуточную выкладку. Для того, чтобы получить окончательный ответ, следует, после выполнения этих команд ввести команду value(%); где % - обозначают предыдущую строку.
Не забудьте, перед использованием описанных здесь команд обязательно загрузить пакет student командой with(student).
Задание 1.
1. Найти неопределенные интегралы: а) ;
б) .
> Int(cos(x)*cos(2*x)*cos(3*x),x)=
int(cos(x)*cos(2*x)*cos(3*x), x);
> Int((3*x^4+4)/(x^2*(x^2+1)^3),x)=
int((3*x^4+4)/(x^2*(x^2+1)^3),x);
2. Найти определенный интеграл , при условии a>0, b>0.
> assume (a>0); assume (b>0);
> Int(sin(x)*cos(x)/(a^2*cos(x)^2+b^2*sin(x)^2),
x=0..Pi/2)=int(sin(x)*cos(x)/(a^2*cos(x)^2+b^2*
sin(x)^2),x=0..Pi/2);
3. Найти несобственный интеграл , при a>-1
> restart; assume(a>-1);
> Int((1-exp(-a*x^2))/(x*exp(x^2)),
x=0..+infinity)=int((1-exp(-a*x^2))/(x*exp(x^2)),
x=0..+infinity);
4. Численно найти интеграл
> Int(cos(x)/x, x=Pi/6..Pi/4)=evalf(int(cos(x)/x,
x=Pi/6..Pi/4), 15);
5. Полностью проделать все этапы вычисления интеграла по частям.
> restart; with(student): J=Int(x^3*sin(x),x);
> J=intparts(Int(x^3*sin(x),x),x^3);
> intparts(%,x^2);
> intparts(%,x);
> value(%);
6. Вычислить интеграл с помощью универсальной подстановки .
> J=Int(1/(1+cos(x)), x=-Pi/2..Pi/2);
> J=changevar(tan(x/2)=t,Int(1/(1+cos(x)),
x=-Pi/2..Pi/2), t);
> value(%);
J=2
§2 Интегральное исчисление функций многих переменных
В Maple имеются две специальные команды для вычисления двойных и тройных интегралов, содержащиеся в библиотеке student.
Для вычисления двойных интегралов используется команда Doubleint(f(x, y), D), где D – область интегрирования, записываемая в одном из следующих форматов:
§ x=х1..х2, y=y1..y2, где числа х1, х2, y1, y2задают прямоугольную область интегрирования;
§ x=f1(y)..f2(y), y=y1..y2, гдеf1(y), f2(y) - линии, ограничивающие область интегрирования слева и справа на интервале от y1доy2;
§ x=х1..х2, y=g1(x)..g2(x) , гдеg1(y), g2(y) - линии, ограничивающие область интегрирования снизу и сверху на интервале от х1дох2.
Для вычисления тройных интегралов используется команда Tripleint(f(x, y, z),x, y, z, V), где V – область интегрирования.
Обе эти команды являются командами отложенного действия. Чтобы получить значение интеграла, следует использовать команду value(%).
Повторные интегралы можно вычислять с помощью повторения команды int, например, повторный интеграл вычисляется командой
> int(int(x^2*y^3, x=0..1), y=0..2);
Задание 2.
1. Вычислить повторный интеграл
> Int(Int(y^3/(x^2+y^2),x=0..y),y=2..4)=
int(int(y^3/(x^2+y^2), x=0..y),y=2..4);
2. Вычислить двойной интеграл по области, ограниченной линиями .
Замечание: сначала следует описать область интегрирования D в виде неравенств:
Замечание: следует помнить, что порядок интегрирования определяется последовательностью пределов, поэтому сначала указываются пределы, содержащие функции.