V. Обработка результатов измерений

В каждой серии измерений промежутков времени найти среднее значение с двумя цифрами после запятой. Данные записать в таблицу 1 и вычисляют отклонения и их квадраты . Значения квадратов вносятся в таблицу 2.

После этого вычисляют погрешности средних значений: (7),

и вносят в таблицу 2; здесь -коэффициент Стьюдента для надежности 95%.

Таблица2:

.
.
.

Для нахождения параметров и методом наименьших квадратов следует внести в таблицу 3 следующие данные, предварительно рассчитав недостающие:

, , , ,

(Здесь – номер серии измерения.)

Подсчитать суммы по всем сериям измерений указанных данных ( изменяется от 1 до 10):

, , и

и также внести в таблицу 3.

Решить систему уравнений 6 относительно параметров и :

(6)

используя числа, взятые из последней строчки таблицы 2.

(Вывод уравнений 6 см. Приложение 1. Сравни с формулами 10)

Таблица 3.

м

м/ c²

м/ c²

Определив значения и , необходимо на миллиметровой бумаге построить график зависимости пути от времени в виде толстой сплошной линии. Затем на этом же графике отметить значения и в виде отдельных точек. Провести через эти точки тонкие горизонтальные линии, соответствующие доверительным интервалам , четко отмечая их границы.

Рис.3.

ПРИЛОЖЕНИЕ. “МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ”

Пусть в результате эксперимента мы получили ряд измерений величины : , соответствующих значениям аргумента , , …, , которые могут быть представлены на графике в виде точек (рис2). Нам необходимо установить эмпирическую зависимость между и .

Очевидно, если соединить последовательно эти точки, то получим ломаную линию, не имеющую ничего общего с искомой зависимостью . Это следует хотя бы из того, что форма этой ломаной линии не будет воспроизводиться при повторных сериях измерений.

Рис.5

больших, так и в сторону меньших значений, вследствие статистического разброса (рис 3)

Задача состоит в том, чтобы по данным экспериментальным точкам найти гладкую кривую (или прямую), которая проходила бы как можно ближе к графику “истинной” функциональной зависимости .

Теория вероятностей показывает, что наилучшим приближением будет такая кривая (или прямая) линия, для которой сумма квадратов расстояний по вертикали от экспериментальных точек до этой кривой будет минимальной.

Этот метод нахождения эмпирической зависимости получил название метода наименьших квадратов. Сущность этого метода состоит в следующем.

Предположим, что искомая зависимость выражается функцией , где – параметры. Значения этих параметров определяются так, чтобы точки располагались по обе стороны этой кривой как можно ближе к последней, то есть, чтобы сумма квадратов отклонений измеренных значений от функции была наименьшей. (Это соответствует предположению, что разброс точек относительно кривой подчиняется закону нормального распределения.)

Мерой этого разброса является дисперсия или ее приближенное выражение – средний квадрат отклонений:

.

Этот средний квадрат отклонений и должен принять минимальное значение. Как известно, функция принимает минимальное значение при ,если ее первая производная равна нулю. а вторая производная положительна при значении . Для функции многих переменных эти условия заменяются требованием, чтобы частные производные, то есть производные по параметру удовлетворяли вышеупомянутым условиям (при этом остальные параметры при вычислении производных считаются постоянными).

Таким образом, из условий минимума мы получаем систему уравнений для определения наилучших значений параметров.

Рассмотрим применение метода наименьших квадратов на примере отыскания эмпирической зависимости пути, проходимого грузиками на машине Атвуда, от времени.

Полагая, что “истинная” зависимость пути от времени имеет вид

.

можно рассмотреть случайные отклонения:

, (7)

где – измеренные положения правого грузика в моменты времени .

Запишем квадратичную форму

(8)

и потребуем, чтобы эта квадратичная форма, описывающая сумму квадратов отклонений точек от искомой кривой, была минимальной:

.

Тогда из равенства нулю частных производных от по параметрам и получим два уравнения

(9)

Эти уравнения можно переписать в виде

(10)

Решение этой системы позволяет найти значения и , а затем определить ускорение .

(В уравнениях (7 – 10) индекс соответствует усредненному значению данного параметра соответствующей серии измерений в таблицах 1 и 2.)

VI. Контрольные вопросы

1. Какие величины характеризуют прямолинейное движение?

2. Какое движение называется равномерным, ускоренным?

3. В чем состоит принцип метода наименьших квадратов?

4. Начертите график зависимости пути от времени для равноускоренного движения без начальной скорости, с начальной скоростью; график пути для равнозамедленного движения.

5. Объясните смысл и происхождение слагаемого и величины в законе пути, полученном в результате работы.

6. С какой целью мы применяем метод наименьших квадратов?

Литература

1. Савельев И.В. Курс общей физики. Т. 1. -М.: Наука, 1982.

2. Лебедев В.В. Руководство по обработке результатов наблюдений при выполнении лабораторных работ. -М. МИНГ, 1987.

Поиск по сайту: