Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНИЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.

Высшая математика 1 курс ( заочн. отделение) 2015/2016уч. г.

Основная литература

1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. – М.: Физматлит, 2002, 302 с.

2. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. – М.: Физматлит, 2002, 240 с.

3. Высшая математика для экономистов (под редакцией Кремера Н.Ш.). – М.: ЮНИТИ, 2000, 470 с.

4. Практикум по решению задач по высшей математике (под редакцией Кремера Н.Ш.) – М: ЮНИТИ, 2006.

5. Сборник задач по высшей математике. 1 курс. (под редакцией Лунгу К. Н.) – М.: Айрис-пресс, 2007, 576 с.

Дополнительная литература

1. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах, ч.1, М.: Высшая школа, 1996, 304 с.

2. Ефимов А.В., Демидович Б.П. Сборник задач по математике, ч. 1-2, М.: Наука, 1995, 368 с.

3. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: Физматлит, 2002.

Раздел 1. Матрицы и определители.Матрицы и действия с ними. Определители и их свойства. Миноры и алгебраические дополнения. Обратная матрица. Ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы. Решение матричных уравнений с помощью обратной матрицы.

Раздел 2. Системы линейных алгебраических уравнений. Совместность систем линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Решение систем n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными по правилу Крамера. Однородная и неоднородная системы. Фундаментальная система решений. Решение системы n линейных алгебраических уравнений с m неизвестными методом Гаусса.

Раздел 3. Комплексные числа. Комплексные числа. Различные формы их записи (алгебраическая, тригонометрическая, показательная). Арифметические операции с комплексными числами и их свойства.

Раздел 4. Векторная алгебра. Векторы. Линейные операции над векторами. Проекция вектора на ось. Декартовы координаты векторов и точек. Скалярное произведение векторов, его основные свойства. Векторное и смешанное произведение векторов, их основные свойства и геометрический смысл.

Раздел 5. Линейные пространства. Линейные операторы. Линейные векторные пространства. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Размерность и базис линейного пространства. Координаты вектора. Преобразование координат при переходе к новому базису. Евклидовы пространства. Ортогональный и ортонормированный базис.

Линейные операторы и действия с ними. Матрица линейного оператора. Связь между матрицами линейного оператора в различных базисах. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Квадратичные формы в Rn. Матрица квадратичной формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы.

Раздел 6. Прямая, плоскость, кривые на плоскости. Уравнение линии на плоскости. Прямая на плоскости. Различные формы уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой. Прямая и плоскость в пространстве. Уравнение плоскости и прямой в пространстве. Угол между плоскостями. Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью. Кривые второго порядка: эллипс, гипербола, парабола.

Вопросы по дисциплине «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» для зачета и экзамена:

1. Матрицы. Действия над матрицами: сумма и разность матриц, умножение матрицы на число, транспонирование матрицы, произведение матриц, возведение в степень. Их свойства.

2. Определители 2-го и 3-го порядка. Правило треугольников. Миноры и алгебраические дополнения. Определители n-го порядка. Свойства определителей.

3. Обратная матрица, её свойства. Теорема о существовании и единственности обратной.

4. Элементарные преобразования матрицы. Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований строк и через присоединенную матрицу.

5. Ранг матрицы. Его свойства. Теорема о сохранении ранга матрицы при элементарных преобразованиях. Способы вычисления ранга матрицы: метод окаймляющих миноров, метод элементарных преобразований.

6. Комплексные числа. Арифметические операции на множестве комплексных чисел. Сопряженные числа, их свойства.

7. Тригонометрическая форма комплексного числа. Арифметические операции над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме. Показательная форма комплексного числа.

8. Формула Муавра. Извлечение корня из комплексного числа.

9. Системы m линейных уравнений с n неизвестными. Решение системы. Совместные, определённые, равносильные системы. Теорема Кронекера-Капелли. Решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы.

10. Системы n линейных уравнений с n неизвестными. Теорема Крамера.

11. Равносильность систем линейных уравнений при элементарных преобразованиях строк. Метод Гаусса.

12. Однородные системы линейных уравнений. Их свойства. Фундаментальная система решений. Теорема о фундаментальных решениях однородной системы.

13. Геометрические векторы. Линейные операции над векторами (сложение, умножение вектора на число, разность). Их свойства. Проекция вектора на ось. Декартова система координат на плоскости и в пространстве.

14. Длина вектора. Направляющие косинусы. Линейные операции над векторами в координатной форме. Условие коллинеарности и равенства векторов в координатной форме.

15. Метод координат на плоскости: нахождение координат вектора по известным координатам точек начала и конца вектора; расстояние между двумя точками; деление отрезка в данном отношении.

16. Скалярное произведение векторов, его свойства. Вычисление скалярного произведения векторов, заданных своими координатами. Необходимое и достаточное условие ортогональности векторов. Вычисление угла между векторами.

17. Векторное произведение векторов, его свойства. Вычисление векторного произведения векторов, заданных своими координатами. Вычисление площади параллелограмма и треугольника.

18. Смешанное произведение векторов, его геометрический смысл. Свойства смешанного произведения векторов. Вычисление смешанного произведения векторов, заданных своими координатами. Вычисление объёмов параллелепипеда и тетраэдра.

19. Линейное векторное пространство. Вектор в n-мерном пространстве. Линейная зависимость и независимость векторов. Свойства линейной зависимости векторов.

20. Размерность векторного пространства. Базис векторного пространства. Теорема о разложении вектора по базису. Переход к новому базису.

21. Линейные операторы в линейных пространствах. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.

22. Квадратичные формы в линейных пространствах. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом собственных векторов.

23. Знакоопределённость квадратичной формы.

24. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости. Полярные, цилиндрические и сферические координаты.

25. Линии первого порядка на плоскости. Различные типы уравнений прямой на плоскости.

26. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Расстояние от точки до прямой. Угол между двумя прямыми.

27. Преобразование декартовых координат на плоскости.

28. Плоскость в пространстве: различные типы уравнений плоскости, угол между двумя плоскостями, расстояние от точки до плоскости.

29. Прямая линия в пространстве: способы задания, угол между двумя прямыми в пространстве, взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.

30. Общее уравнение линий второго порядка на плоскости. Определение типа кривой второго порядка. Окружность.

31. Эллипс и его геометрическое определение, каноническое уравнение, вершины, фокусы, фокальные радиусы, эксцентриситет, директрисы.

32. Гипербола: геометрическое определение, канонические уравнения, вершины, фокусы, фокальные радиусы, эксцентриситет, директрисы, асимптоты, сопряжённая гипербола.

33. Парабола: геометрическое определение, каноническое уравнение, вершина, фокус, фокальный радиус, эксцентриситет, директриса, ось.

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.