Достаточно надежное закрытие информации может быть обеспечено при использовании для шифрования некоторых аналитических преобразований. Для этого можно использовать методы алгебры матриц, например умножение матрицы на вектор по правилу:
Если матрицу А = (д„) использовать в качестве ключа, а вм'есто компонента вектора В = (йу) подставить символы текста, то компоненты вектора С=(Су) будут представлять собой символы зашифрованного текста.
Приведем пример, взяв в качестве 1<люча квадратную матрицу третьего порядка ; „'
Заменим буквы алфавита цифрами, соответствующими их порядковому номеру в алфавите: А—0, Б—1, В—2 и т. д. Тогда отрывку текста ВАТАЛА будет соответствовать последовательность 2,0, 19, О, 12, 0. По принятому алгоритму шифрования выполним необходимые действия:
При этом зашифрованный текст будет иметь вид:85, 54,' 25,96, 60, 24. •. ' . ! ''"";' •
Дешифрование осуществляется с использованием того же правила умножения матрицы на вектор, только в качестве ключа берется матрица, обратная той, с помощью которой осуществляется зшифрование, а в качестве вектора-сомножителя — соответствующие фрагменты символов закрытого текста; тогда значениями вектора-результата будут цифровые эквиваленты знаков открытого текста.
Матрицей, обратной данной А, называется матрица^'', получающая из присоединенной матрицы делением всех ее элементов на определитель данной матрицы. В свою очередь присоединенной называется матрица, составленная из алгебраических дополнений Ау, к элементам данной матрицы, которые вычисляются по формуле:
Ау=(-\У^,,
где А,. — определитель матрицы, получаемой вычеркиванием /-и строки и j-ro столбца исходной матрицы А.
Определителем матрицы называется алгебраическая сумма п! членов (для определителя п-го порядка), составленная следующим образом: членами служат всевозможные произведения п элементов матрицы, взятых по одному в каждой строке и в каждом столбце, причем член суммы берется со знаком «+», если его индексы составляют четную подстановку, и со знаком «-» — в противоположном случае. Для матрицы третьего порядка, например, определитель вычисляется следующим образом:
Таким образом, получена последовательность знаков раскрытого текста 3,0, 19, 0, 12, 0, что соответствует исходному тексту. Этот метод шифрования является формальным, что позволяет легко реализовать его программными средствами.