Модель расширяющейся экономики Неймана

Классическая (исходная) модель Неймана строится при следующих предпосылках:

1. экономика, характеризуемая линейной технологией, состоит из отраслей, каждая из которых обладает конечным числом производственных процессов, т.е. выпускается несколько видов товаров, причем допускается совместная деятельность отраслей;

2. производственные процессы разворачиваются во времени, причем осуществление затрат и выпуск готовой продукции разделены временным лагом;

3. для производства в данный период можно тратить только те продукты, которые были произведены в предыдущем периоде времени, первичные факторы не участвуют;

4. спрос населения на товары и, соответственно, конечное потребление в явном виде не выделяются;

5. цены товаров изменяются во времени.

Приведём описание модели Неймана. На дискретном временном интервале с точками рассматривается производство, в котором n видов затрат с помощью m технологических процессов превращаются в n видов продукции. Мы не будем указывать число отраслей, так как в дальнейшем не понадобится подчеркивать принадлежность товаров или технологий к конкретным отраслям. В модели Леонтьева технологические коэффициенты были отнесены к единице продукта. В модели Неймана, принимая в качестве производственных единиц не отрасли, а технологические процессы, удобно отнести эти коэффициенты к интенсивности производственных процессов.

Интенсивностью производственного процесса j называется объем продуктов, выпускаемых этим процессом за единицу времени. Уровень интенсивности j-го процесса в момент времени t обозначим через . Заметим, что является вектором, число компонент которого соответствует числу выпускаемых j-ым процессом видов товаров и Предположим, что функционирование j-го процесса с единичной интенсивностью требует затрат продуктов в количестве

и дает выпуск товаров в количестве

Введем обозначения Пара характеризует технологический потенциал, заложенный в j-ом процессе (его функционирование с единичной интенсивностью). Поэтому пару можно назвать базисом j-го производственного процесса, имея в виду, что для любой интенсивности соответствующую пару затраты-выпуск можно выразить как Поэтому последовательность пар

(5.4.1)

представляющих собой затраты и выпуски всех производственных процессов в условиях их функционирования с единичными интенсивностями, будем называть базисными процессами.

Все m базисных процессов описываются двумя матрицами

где A- матрица затрат, B- матрица выпуска. Вектор называется вектором интенсивностей. Соответствующие этому вектору затраты и выпуски по всем m процессам можно получить как линейную комбинацию базисных процессов (5.4.1) с коэффициентами :

Говорят, что в производственном процессе базисные процессы (5.4.1) участвуют с интенсивностями . Как следует из (5.4.2), неймановская технология, описываемая двумя матрицами A и B единичных уровней затрат и выпуска, является линейной. Рассматривая все допустимые смеси базисных процессов, получаем расширенное множество производственных процессов

(5.4.3)

которое и отражает допустимость совместной деятельности отраслей. Возможность совместного производства нескольких продуктов в одном процессе следует из того, что в каждом процессе j может быть отличной от нуля более чем одна из величин . Множество (5.4.3) представляет собой неймановскую технологию в статике (в момент t). Если в матрице A положить , матрицу B отождествить с единичной матрицей, а интерпретировать как вектор валового выпуска, то (5.4.2) превращается в леонтьевскую технологию.

Согласно предпосылкам 2) и 3), затраты в момент t не могут превышать выпуска , соответствующего предыдущему моменту t-1 (рис. 5.3).

Рис. 5.3 Последовательность затрат и выпусков

Поэтому должны выполняться условия:

(5.4.4)

где - вектор запаса товаров к началу планируемого периода.

Обозначим через вектор цен товаров. Неравенство (5.4.4) можно трактовать как непревышение спроса над предложением в момент t. Поэтому в стоимостном выражении (в ценах момента t) выполняется равенство

(5.4.5)

В силу предположения 5) прибыль базисного процесса на отрезке равна величине т.е. затраты осуществляются по цене начала периода, а готовая продукция - по цене момента ее реализации. Таким образом, издержки по всем базисным процессам можно записать как а выручку - как (рис. 5.4).

Рис. 5.4 Последовательность издержек и выручки

Говорят, что базисные процессы неубыточны, если неприбыльны, если

(5.4.6)

В модели Неймана предполагается неприбыльность базисных процессов. Это объясняется тем, что издержки и выручки разведены во времени, т.е. относятся к разным моментам времени, и в условиях расширяющейся экономики характерен случай падения цен , т.е. покупательская способность денег в момент t будет выше, чем в момент . Главная же причина неприбыльности базисных процессов заложена в определении экономического равновесия.

Основной предмет исследования Дж. фон Неймана - это возможность существования равновесия в рассматриваемой им динамической модели экономики при заданных в каждый момент ценах. Как следует из определения 5.2, при равновесии в условиях совершенной конкуренции имеет место стоимостной баланс (см. (4.3.8)). Таким образом, в условиях равновесия не создается никакой прибыли, и неравенство (5.4.6) является отражением этого факта. Поэтому, если в (5.4.6) для некоторого базисного процесса j имеет место строгое неравенство, т.е. предложение превышает спрос:

то выполняется равенство Другими словами, отсутствие отрицательной прибыли обеспечивается нулевой интенсивностью. Отсюда получаем

(5.4.7)

Описание модели Неймана завершено. Совокупность неравенств и уравнений (5.4.4) -(5.4.7) :

(5.4.8)

где и - матрицы затрат и выпуска соответственно, называется (динамической) моделью Неймана.

Определение 5.2. Говорят, что в экономике наблюдается сбалансированный рост производства, если существует такое постоянное число , что для всех m производственных процессов

(5.4.9)

Постоянное число называется темпом сбалансированного роста производства.

Содержательно (5.4.9) означает, что все уровни интенсивности возрастают одинаковыми темпами

Раскрывая рекуррентно правую часть (5.4.9), получаем

(5.4.10)

где - интенсивность процесса j , установившаяся к началу планового периода. Заметим, что t в правой части (5.4.10) является показателем степени, а в левой - индексом.

В случае сбалансированного роста производства, с учетом постоянства темпа роста, последовательность называется стационарной траекторией производства.

Определение 5.3. Говорят, что в экономике наблюдается сбалансированное снижение цен, если существует такое постоянное число , что для всех n товаров

(5.4.11)

Постоянное число называется нормой процента.

Содержательно (5.4.11) означает, что цены на все товары снижаются одинаковыми темпами

Название «норма процента» для темпа снижения принято по ассоциации с показателем нормы процента (нормы доходности) в формуле сложного процента где - сумма начального вложения, - получаемая через n периодов конечная сумма, - норма процента. Так как в определении 6.3 речь идет о снижении, то «норма процента» в (5.4.11) входит с отрицательным знаком

Из равенства (5.4.10) получаем

(5.4.12)

где - цены, установившиеся к началу планового периода.

В случае сбалансированного снижения цен последовательность называется стационарной траекторией цен.

Подставляя (5.4.10) и (5.4.12) в модель Неймана (5.4.8), получаем ее «стационарную» форму:

(5.4.13)

Эта система соотношений показывает, что по стационарным траекториям y и p экономика развивается согласно неизменному динамическому закону. Поэтому такую ситуацию естественно назвать равновесной.

Определение 5.4. Четверка , где y - стационарная траектория производства, p- стационарная траектория цен, а и - соответствующие им темп сбалансированного роста производства и норма процента (темп сбалансированного снижения цен), называется состоянием (динамического) равновесия в модели Неймана (5.4.8).

Сделаем следующие предположения:

а)
в) для каждого j существует хотя бы одно i , такое что
г) для каждого i существует хотя бы одно j , такое что
д) для каждого t

Теорема 5.4. Если выполнены условия a)-д), то в модели Неймана (5.4.8) существует состояние равновесия.

Условия в) и г) говорят о наличии в каждом столбце матрицы A и каждой строке матрицы B по крайней мере одного положительного элемента. Содержательно это означает, что среди всех производственных процессов нет таких, которые ничего не тратят, и каждый из n видов продуктов действительно производится. Условие д) имеет чисто техническое назначение.

Определение 5.5. Число

называется максимальным темпом сбалансированного роста, а число

называется минимальной нормой процента.

Оказывается, что в состоянии равновесия числа и существуют и равны между собой:

(5.4.14)

если только начальные точки y⁰ и p⁰ также удовлетворяют этому равенству.

Траектория производства удовлетворяющая условиям (5.4.13) при и и соответствующая максимальному сбалансированному росту, т.е. называется траекторией равновесного роста (или траекторией Неймана, или магистралью).

Поиск по сайту: