Функция спроса и ее свойства

В предыдущем параграфе спрос был определен как оптимальное решение задачи потребителя (2.4.1) - (2.4.2) (определение 2.3). Спрос есть платежеспособная потребность, а платежеспособность предполагает соответствие цен и дохода. Поэтому можно утверждать, что общее решение задачи потребителя вычисляется как функция от цен и дохода: . Аналогично, . К этому же выводу можно прийти исходя из вида задачи (2.4.1) - (2.4.2) , так как и являются параметрами этой задачи.

Решение оптимизационной задачи представляет собой лишь один из способов определения спроса, который схематично можно представить в виде:

где - отображение, представленное максимизацией функции с учетом бюджетного ограничения. В общем случае - это некоторая совокупность правил, с помощью которых потребитель определяет свой спрос.

Пусть - множество допустимых наборов товаров, - пространство цен. Функцией спроса (индивидуального потребителя) называется отображение , которое каждой паре ставит в соответствие множество наиболее предпочтительных наборов товаров

(2.5.1)

где - множество всех подмножеств множества X. Отображение можно записать в виде

.

Любая точка называется спросом (при ценах и доходе ).

Следовательно, в общем случае функция спроса - это многозначное отображение. Действительно, если - вектор спроса, а множество не пусто, то любая точка множества является спросом.

Для отображения , представленного задачей (2.4.1) - (2.4.2), имеем:

(2.5.2)

Если в (2.4.1) функция полезности строго вогнута, то функция спроса однозначна, т.е. множество состоит из одной точки максимума функции

В случае неоднозначности функции спроса возникает задача выбора единственной точки

Учитывая, что доход потребителя зависит от цен товаров, , можно в пространстве определить функцию спроса , так что

При увеличении цен на товары, вообще говоря, доход потребителя должен быть компенсирован. Это требование формализуется как свойство однородности первой степени (или линейной однородности) функции дохода: для любых . Как должен при этом измениться спрос? Интуитивно ясно, что если повышение цен пропорциональным образом компенсируется повышением дохода, то спрос должен оставаться на прежнем уровне.

Если для любых то говорят, что функция спроса однозначна нулевой степени (относительно всех цен и дохода), т.е. инвариантность спроса относительно пропорционального повышения цен и дохода. Для функций спроса

, (2.5.3)

полученных как решение задачи (2.4.1) - (2.4.2), это свойство выполняется. Действительно, при изменении цен в раз задача (2.4.1) - (2.4.2) преобразуется в следующую:

при ограничениях

Обозначим через оптимальной решение этой задачи. Бюджетное ограничение можно записать как Так как , то мы приходим к исходной задаче, так что

Для функции спроса однородной нулевой степени объем потребления зависит не от цен, как таковых, и дохода, а от отношений цен (относительных цен) и от отношения денежного дохода к цене (реального дохода). Выбирая какой-либо товар, например, товар , в качестве «единицы измерения» (эквивалента) и полагая коэффициент пропорциональности , функцию спроса можно записать в виде:

,

где - относительная цена, - реальный доход. В качестве коэффициента пропорциональности можно выбрать, например, величины

или

Какова чувствительность спроса на изменение цен и дохода? Как было показано в разделе 2.3, она измеряется эластичностью, где эластичность спроса по цене показывает, какое процентное изменение спроса последует за однопроцентным увеличением цены товара:

Так как (закон спроса для нормальных товаров), то (см. (2.3.4)). Так как при движении по кривой безразличия величина меняется (за исключением некоторых тривиальных случаев) и тем более изменяются и , то эластичность спроса по цене в различных точках кривой безразличия различна.

Тривиальным является случай, когда функция спроса линейна:

.

В этом случае постоянна и равна , однако, эластичность не постоянна, в силу непостоянства отношения .

Линия спроса

Рис. 2.12 Линейная функция спроса

Например (Рис. 2.12), в случае одного товара:

Имеется еще два тривиальных (особых) случая эластичности спроса по цене, показанных на (Рис. 2.13)

Линия спроса Линия спроса

Рис 3.13.Особые случаи эластичности спроса по цене

В случае а) - имеется только одна цена , по которой потребитель будет приобретать товар. Даже при малейшем увеличении цены выше этого уровня требуемое количество товара упадет до нуля, и любое снижение цены приведет к неограниченному росту спроса. Кривая же спроса, изображенная на Рис. 2.13 б) совершенно неэластична. Потребитель приобретет фиксированное количество товара независимо от цены. Из координатной записи функции спроса (2.5.3)

следует, что спрос на один вид товара зависит, вообще говоря, от цен и других товаров.

Кривая спроса

Рис. 2.14 Схема примера 3.5

Процентное изменение количества товара вида при однопроцентном увеличении цены товара вида называется перекрестной эластичностью спроса по цене:

или

. (2.5.4)

Для взаимозаменяемых товаров (таких, как чай и кофе) повышение цены товара увеличивает спрос на товар , поэтому перекрестная эластичность положительна. Для взаимодополняющих друг друга товаров (таких, как кофе и сахар) повышение цены одного товара влечет понижение спроса на другой, поэтому перекрестная эластичность отрицательна.

До сих пор рассматривалась точечная эластичность, т.е. эластичность, измеряемая в отдельной точке кривой спроса. Если требуется измерение эластичности на отрезке (точнее, на дуге) кривой спроса, то применяют дуговую эластичность спроса по цене:

, (2.5.5)

где

где цена и количество товара в начальной (конечной) точке рассматриваемой дуги кривой спроса. Дуговая эластичность тем точнее, чем ближе друг к другу точки и . Устремляя расстояние между ними к нулю, получим формулу точечной эластичности.

Пример 2.5.Пусть кривая спроса имеет вид Вычислим эластичность спроса по цене при изменении последней от до (Рис. 2.14) Пользуясь формулой спроса, найдем соответствующие этим ценам количества товаров:

Отбрасывая отрицательные значения корней, как не имеющих смысла, находим: Задача сводится к вычислению дуговой эластичности спроса по цене для участка (дуги) кривой спроса от точки до точки . Пользуясь формулой (2.5.5), получаем:

Для сравнения вычислим точечную эластичность в точке A:

(Здесь учтено неравенство ).

Представляет определенный интерес также эластичность спроса по доходу, т.е. процентное изменение количества требуемого товара (спроса) при однопроцентном изменении дохода:

Пользуясь схемой проведенного выше анализа эластичности спроса по цене, можно провести анализ эластичности спроса по доходу.

Поиск по сайту: