Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба



Для уточнения поведения функции и формы графика функции рассмотрим вопросы, связанные с понятием направления выпуклости.

 

Определение.

График дифференцируемой функции называется выпуклым (вогнутым) на интервале , если он расположен ниже (выше) любой касательной, проведенной к данному графику (рис.5.8).

 
 

 

 


Рис. 5.8

 


График функции в одних интервалах может быть выпуклым, а в других − вогнутым. Интервалы выпуклости и вогнутости находят с помощью следующей теоремы.

 

Теорема.

Если функция во всех точках интервала имеет отрицательную вторую производную: , то график функции в этом интервале выпуклый. Если − график вогнутый.

 

Определение.

Точка графика непрерывной функции , отделяющая его выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба (рис.5.9).

 

 


Рис. 5.9

 

Из определения следует, что при переходе через точку перегиба, меняется направление выпуклости кривой, следовательно, в этой точке меняет свой знак. Заметим, что может менять свой знак лишь в точках, где она равна нулю, или в точках, где не существует. Отсюда получаем необходимое и достаточное условия точки перегиба.

 

Теорема(необходимое условие существования точки перегиба)

Если функция дважды дифференцируема на интервале и является точкой перегиба, то или не существует.

 

Теорема(достаточное условие существования точки перегиба)

Если вторая производная при переходе через точку , в которой она равна нулю или не существует, меняет знак, то точка графика с абсциссой есть точка перегиба.

 

Для отыскания интервалов выпуклости и вогнутости и точек перегиба графика функции используют следующую схему:

1) найти ;

2) найти и ;

3) определить точки, в которых или не существует (в частности, );

4) исследовать знак слева и справа от каждой такой точки;

5) указать координаты точек перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости.

 

Пример

Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции .

1) ;

2) , ;

3) , , , ;

 
 

 

 


для ; (« »);

для ; (« »);

для ; (« »);.

4) , .

Точки перегиба имеют координаты и .

Интервалы выпуклости: .

Интервалы вогнутости: и .

 

Асимптоты графика функции

Построение графика функции значительно облегчается, если знать его асимптоты.

 

Определение.

Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой (рис.5.10).

 

Асимптоты бывают вертикальные (параллельные оси Оу), горизонтальные (параллельные оси Ох) и наклонные.

 


 

 
 

 


Рис. 5.10

 

 

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.