Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Точки разрыва функции и их классификация

ГЛАВА 3

НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ

Определение непрерывности функции в точке

С понятием предела функции тесно связано понятие непрерывности функции.

Пусть функция определена в точке и в некоторой окрестности этой точки. Чтобы уяснить понятие непрерывности, рассмотрим точку , в которой функция непрерывна (рис.3.1).

 
 

 


Рис. 3.1

 

Из рисунка видно, что, во-первых, в точке функция принимает значение . Во-вторых, если , то (независимо от того, как слева или справа).

Таким образом, в точке выполняется условие: если , то . Это условие можно записать так:

.

 

Определение.

Функция называется непрерывной в точке , если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке:

(1)

 

Данное равенство означает выполнение трех условий:

1. функция определена в точке и в ее окрестности;

2. функция имеет предел при ;

3. предел функции в точке равен значению функции в этой точке.

 


Для того, чтобы функция была непрерывна в точке , должны быть выполнены все три перечисленные условия. Нарушение хотя бы одного из них в некоторой точке означает, что функция разрывна в этой точке.

Когда , то , и равенство (1) можно записать в виде

.

Это означает, что при нахождении предела непрерывной функции можно перейти к пределу под знаком функции, т.е. в функцию вместо аргумента х подставить его предельное значение .

Для некоторых практических применений бывает полезно другое определение непрерывности функции, которое опирается на понятие приращения аргумента и функции (рис. 3.2).

 

 
 

 


Рис. 3.2

 

Пусть функция определена в точке и в ее окрестности. При функция принимает значение , а при , соответственно, .

Приращение функции равно

.

Если , то , тогда

.

Следовательно,

 


Определение.

Функция называется непрерывной в точке , если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции:

.

 

Исследуя непрерывность функции в точке применяют, либо первое, либо второе определения.

 

3.2. Односторонняя непрерывность в точке.
Непрерывность функции в интервале и на отрезке

По аналогии с понятием предела функции слева (справа) вводится понятие непрерывности функции слева (справа).

Пусть функция определена на полуинтервале , и в точке у нее существует предел слева, т.е. . Если этот предел равен значению функции в точке , т.е. или , то эту функцию называют непрерывной слева в точке .

Аналогично, если функция определена на полуинтервале и или , то эту функцию называют непрерывной справа в точке .

Для того, чтобы выполнялось условие непрерывности функции в точке

,

необходимо и достаточно, чтобы функция была непрерывна как слева, так и справа в этой точке.

Пользуясь односторонними пределами, условие непрерывности можно заменить равносильным ему двойным равенством, т.е., поскольку

,

то

.

Таким образом, функция непрерывна в точке , тогда и только тогда, когда в этой точке существуют пределы слева и справа, они равны между собой и равны значению функции в этой точке.

 


Определение.

Функция называется непрерывной в интервале , если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

 

Определение.

Функция называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна в интервале , и в точке непрерывна справа, т.е. , а в точке непрерывна слева, т.е. .

 

Точки разрыва функции и их классификация

Если в точке функция не определена, или не существует предел , или при произвольном стремлении , то при функция разрывна.

 

Определение.

Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции.

 

Точки разрыва функции классифицируются в зависимости от того, как именно нарушено двойное равенство

или ,

являющееся условием непрерывности функции в точке.

Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.

 

Определение.

Точка разрыва называется точкой разрыва первого рода функции , если в этой точке существуют и конечны пределы функции слева и справа, т.е. и .

 

При этом

1) если , то − точка устранимого разрыва (рис.3.3);

2) если , то − точка конечного разрыва (рис.3.4).


 

 


Рис. 3.3 Рис. 3.4

 

Определение.

Точка разрыва называется точкой разрыва второго рода функции , если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности (рис. 3.5).

 
 

 

 


Рис. 3.5

 

 

Примеры

Найти точки разрыва функций и определить их род.

1. ;

Функция определена при всех значениях х, кроме . Найдем пределы функции слева и справа в точке .

;

.

Функция в точке имеет бесконечный разрыв и − точка разрыва второго рода.

 

2. ;

Точкой разрыва для функции является точка . Вычислим левый и правый пределы функции при .

;

.

Поскольку левый и правый пределы при являются конечными, то точка − точка разрыва первого рода.

 

3.4. Основные теоремы о непрерывных функциях.
Непрерывность элементарных функций

Теоремы о непрерывности функций следуют непосредственно из соответствующих теорем о пределах. Приведем теоремы о непрерывных функциях без доказательств.

 

Теорема.

Сумма, разность, произведение и частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная (для частного − делитель отличен от нуля).

 

Теорема.

Сложная функция, составленная из конечного числа непрерывных функций, непрерывна.

 

Теорема.

Функция, обратная к монотонной и непрерывной на интервале функции, также монотонна и непрерывна на интервале .

 

Для основных элементарных функций (п.1.7), справедлива следующая теорема.

 

Теорема.

Всякая основная элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

 

Подавляющее большинство функций, которые рассматриваются в математике, являются элементарными. Опираясь на определение элементарной функции (§1.10), непрерывность основных элементарных функций, а также на приведенные выше теоремы можно утверждать, что всякая элементарная функция непрерывна в ее области определения.

 

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.