Геометрическая алгебра древних греков.

Муниципальное общеобразовательное учреждение

лицей № 8 “Олимпия”

Дзержинского района г.Волгограда

Геометрический способ решения

Квадратных уравнений

Выполнил: учащийся 8 “В” класса

лицея № 8 “Олимпия”

Цепляев Никита.

Научный руководитель:

Кокиева Л.Д., учитель математики

Волгоград, 2009 г.

Квадратным уравнением называется уравнения вида ах²+bx+c=0,

где а,b,c-действительные числа и а≠0.

Если а =1, то квадратное уравнение называется приведённым, если а≠1-неприведенным.

Существует множество способов решения квадратных уравнений.

Франсуа Виет родился в 1540 году во Франции, в Фонтене –ле – Конт. По образованию юрист. Он много занимался адвокатской деятельностью, а с 1571 год по 1584 год был советником короля Георга III и Георга IV. Но всё свободное время, весь свой досуг он отдавал занятиям математикой. Особенно усиленно он начал работать в области математики с 1584 год, после отстранения от должности при королевском дворе. Виет детально изучил труды как древних, так и современных ему математиков и создал по существу новую алгебру. Он ввёл в неё буквенную символику. После открытия Виета, стало возможным записывать правила в виде формул.

Именно с 1591 года мы пользуемся формулами при решении квадратных уравнений.

О геометрических способах известно мало. Попробуем систематизировать весь известный материал.

Впервые квадратные уравнения сумели решить математики Древнего Египта. В одном из математических папирусов содержится задача: «Найти стороны поля, имеющие форму прямоугольника, если его площадь 12, а 3/4 длины равны ширине». Рассмотрим её.

Пусть х - длина поля. Тогда 3х/4- его ширина. S=3х²/4-площадь. Получилось квадратное уравнение.

В папирусе дано правило для его решения: «Раздели 12 на 3/4».

12: =12 =16

Итак х²=16. «Длина поля равна 4»-указано в папирусе.

Геометрическая алгебра древних греков.

Греки считали, что величины можно представить в виде отрезков, прямоугольников (произведение двух величин-отрезков) и прямоугольных призм (произведение трёх величин-отрезков). При таком подходе арифметической операции над величинами также приобретали геометрический смысл. Результат сложения или вычитания отрезков представлял собой отрезок, прямоугольников (после соответствующего преобразования)- прямоугольник, а призм - призму.

Иными словами, операция сложения и вычитания не выводили за приделы рассматриваемого класса величин. С умножением и делением величин положение обтаяло иначе. Произведением величин - отрезков а и b являлся прямоугольник со сторонами а и b, а произведением прямоугольник и отрезка – прямоугольная призма. Однако операция деления, обратная операция умножению, оказывалось, возможно, только тогда, размерность делимого была выше размерности делителя. Скажем, величину, представленную прямоугольником, можно было разделить на величину-отрезок, но отрезок на отрезок разделить было нельзя.

Пусть требуется разделить величину, представленную прямоугольником со сторонами а и b, на величину-отрезок с Частным от деления должен быть такой отрезок х, что прямоугольник со сторонами с и х был бы равен прямоугольнику со сторонами а и b. Геометрически задача сводится к построению прямоугольника с заданной стороной с, который по площади равен прямоугольнику со сторонами а и b. На (рис.1) показано как можно построить такой прямоугольник. Достаточно продолжить сторона а данного прямоугольника на величину с и достроить чертёж до прямоугольника АВСD. Получившийся под диагональю прямоугольник и является искомым.

В С

(рис.1)

A D

C помощью геометрической алгебры греки не только доказывали алгебраические тождества, но и решали некоторые виды квадратных уравнений, такие, как:

x²=ab (1)

x(a-b)=b² (2)

x(a+b)=b² (3)

где a и b – заданные величины.

Рассмотрим сначала уравнение x²=ab.

Геометрически его можно сформулировать следующим образом: найти такой отрезок х, что площадь построенного на нём квадрата равна площади прямоугольника, построенного на заданных отрезках а и b.

Иными словами, требуется преобразовать заданный прямоугольник в квадрат.

Представив правую часть уравнения с помощью формулы в виде разности квадратов, получим уравнение:

Так как величины х, , входящие в уравнение,

cвязаны соотношением для сторон прямоугольного треугольника (по теореме Пифагора), то проблема сводится к нахождению катета х прямоугольного треугольника, гипотенуза и второй катет которого известны. Геометрическое решение этой задачи несложно: на отрезке как на диаметре надо построить

полуокружность, а затем найти на ней точку, отстоящую от одного из концов отрезка на величину .соединив эту точку с другим концом отрезка, получим стороны искомой длины.

Уравнение можно решить и другим способом. На отрезке a+b как на диаметре построим полуокружность. Затем из общего конца отрезков а и b поставим перпендикуляр к диаметру до пересечения с полуокружностью. Длина этого перпендикуляра и будет искомой величиной х. Хотя это решение является геометрическим, оно использует методы не геометрической алгебры, а теории пропорций.

Перейдём к уравнению (2).

Переведём его на язык геометрии:

К отрезку AD=а приложить прямоугольник ACFL, равновеликий данному квадрату (b²), так, чтобы фигура CDMF, дополняющая прямоугольник ACFL до прямоугольника ADML, была квадратом с площадью x².

Предложим, что построение выполнено. Из

(рис. 4)нетрудно заметить, что площадь фигуры BDHGFE,

где – В – середина AD, равна площади прямоугольника ACFL. Тогда площадь прямоугольника ACFL равна выражению, стоящему в левой части уравнения, т.е. х(а-х). Площадь фигуры BDHGFE равна разности площадей двух квадратов: большого со стороной ВD= и малого со стороной EF= . Записав

равенство площадей прямоугольника ACFL и фигуры BDHGFE, получим

Поскольку площадь прямоугольника ACFL равна b², верно равенство

Оно связывает условием теоремы Пифагора три величины:

Геометрически это означает, что существует прямоугольный треугольник с гипотенузой и катетами

Так как величины гипотенузы и одного из катетов известны, то нетрудно построить другой катет. Определив величину , легко найти искомую величину х.

A B C D

(рис.4)

BD= DM=x FM=x

L M M

K G H

Арабская алгебра.

Арабская алгебра стала самостоятельной дисциплиной в IXXв. Основной вклад в её становление внесли математики ал-Хорезми и Абу-Камил (ок. 850-930). При решении и исследовании уравнений использовались разнообразные арифметические способы и геометрические методы. Так, например, ал-Караджи ввёл арифметические операции над одночленами и выражениями, составленными из них, тем самым заложив фундамент алгебры многочленов. Лишь операции деления он ограничивал делением многочлена на одночлен. Алгебраический трактат ал-Хорезми был задуман руководство для решения практических задач, в том числе о справедливом разделе наследства. В мусульманском праве существовала сложная система наследования, в соответствии которой свою долю в зависимости от степени родства должны были получить многочисленные родственники умершего. Для решения этой задачи решались квадратные уравнения. В отличии от совместной алгебры ал-Хорезми не рассматривал общего решения квадратного уравнения. Его интересовали только частные случаи.

Поскольку население не может быть отрицательным числом, ал-Хорезми совершенно избегал уравнений, у которых нет ни одного положительного корня. Другая особенность касались системы записи уравнений. Ал-Хорезми записывал уравнение так, чтобы среди входящих в его левую и правую части членов были лишь слагаемые, но не вычитаемые. Вследствие указанных ограничений ему приходилось рассмотривать отдельно следующие канонические уравнения, к которым с помощью алгебраических преобразований «ал-джабр» и «ал-мукабала» приводили другие уравнения:

1) ах²=bx (в терминологии ал-Хорезми – «квадраты равны корням»);

2) ах²=с («квадраты равны числу»);

3) ах=с («корни равны числу»);

4)ax+bx=c («квадраты и корни равны;числу»);

5)ax²+c=bx («квадраты и числа равны числу»);

6)bx+c=ax² («корни и числа равны квадратам»).

Часто кроме алгебраического решения (будучи выражено в алгебраической символике, оно аналогично современному) ал-Хорезми предлагал наглядно – геометрическое. Вот так он решал геометрически уравнение относящееся к четвёртому типу.

Х ²+10Х=39

Сначала возьмём квадрат, сторону которого обозначим через х. Его площадь равна х² (рис.5)

На сторонах квадрата построим четыре прямоугольника со сторонами, равными х и 10/4 ;полученную фигуру достраиваем до квадрата. Площадь каждого из четырёх прямоугольников равна 10х/4 , а их сумма составляет 10х.

Площадь каждого из четырёх угловs[ квадратов со сторонами 10/4 равна 100/16=6 1/4 , а их сумма составляет 100/4=25.

Если сложить величину площади внутреннего квадрата (х²) и сумму площадей четырёх прямоугольников (10х), то получится выражение х²+10х, представляющая собой левую часть уравнения. Площадь большого квадрата превосходит величину х² +10х на 25. Так как из уравнения следует, что х²+10х = 39, то площадь большого квадрата равна 39+25=64, а его сторона равна 8. С другой стороны, из (рис. 5) видно, что сторона внешнего квадрата равна х+2*10/4.

Наконец, из равенства х+2*10/4=8 находим значение х=3.

Методы решения квадратных уравнений были известны еще в древние времена. Они излагались в вавилонских рукописях царя Хаммурапи (ХХ в. до н.э.), в трудах древнегреческого математика Евклида (III в. до н.э.), в древних китайских и японских трактатах. Многие математики древности решили квадратные уравнения геометрическим способом: квадрат и 10 его корней равны 39.

Для решения уравнения x² + 10x = 39 поступали следующим образом. Пусть AB = x_, BC = 5, (10:2). На стороне АС = АВ + ВС строился квадрат, который разбивался на четыре части, как показано на рисунке. Очевидно, что сумма площадей I, II, III частей равна x² + 10x или 39. Если к этой площади прибавить площадь IV части, то 39 + 25 = 64 – площадь всего квадрата. Но эта же площадь равна (x +5)². Следовательно, (x + 5)² =64. x +5 =8, x = 3.Таким образом, число 3 является корнем квадратного уравнения, ведь отрицательных чисел тогда не знали.

А вот как решал эту же задачу ал-Хорезми в 825 году. Строим квадрат со стороной x и на его сторонах – четыре прямоугольника высотой . В углах фигуры построим четыре квадрата со стороной . Подсчитаем площадь получившегося большого квадрата:

x² + 4∙ ∙ = x² + 10x + ∙4. По условию x² + 10x = 39, т.е. площадь большого квадрата равна 39 + ∙4 = 39 + 25 =64. Значит, его сторона равна 8 , тогда

x + 2∙ = 8, x = 3 (Ал – Хорезми не признавал отрицательных чисел)

Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.

Графический способ решения квадратных уравнений с помощью параболы неудобен. Если строить параболу по точкам, то требуется много времени, и при этом степень точности получаемых результатов невелика.

Предлагается следующий способ нахождения корней квадратного уравнения ах² + bх + с = 0 с помощью циркуля и линейки (рис.).

Допустим, что искомая окружность пересекает ось

абсцисс в точках В(х₁; 0 ) и D (х₂; 0), где х₁ и х₂ - корни уравнения ах² + bх + с = 0, и проходит через точки

А(0; 1) и С(0; c/a) на оси ординат. Тогда по теореме о секущих имеем OB • OD = OA • OC, откуда OC = OB • OD/ OA= х₁х₂/ 1 = c/a.

Центр окружности находится в точке пересечения перпендикуляров SF и SK, восстановленных в серединах хорд AC и BD, поэтому

Итак:

1) построим точки (центр окружности) и A(0; 1);

2) проведем окружность с радиусом SA;

3) абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями исходного квадратного уравнения.

При этом возможны три случая.

1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS > SK, или R > a + c/2a), окружность пересекает ось Ох в двух точках (рис.,а) В(х₁; 0) и D(х₂; 0), где х₁ и х₂ - корни квадратного уравнения ах² + bх + с = 0.

2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SB, или R = a + c/2a), окружность касается оси Ох (рис.,б) в точке В(х₁; 0), где х₁ - корень квадратного уравнения.

3) Радиус окружности меньше ординаты центра

окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис.,в), в этом случае уравнение не имеет решения.

• Пример.

Решим уравнение х² - 2х - 3 = 0 (рис.).

Решение. Определим координаты точки центра окружности по формулам:

Проведем окружность радиуса SA, где А (0; 1).

Ответ: х₁ = - 1; х₂ = 3.

Поиск по сайту: