Вопрсы к экзамену по дисциплине

«Математический анализ»

1. Множество действительных чисел. Модуль действительного числа и его свойства.

2. Числовое множество. Примеры числовых множеств. Окрестности. Ограниченные и неограниченные числовые множества. Верхняя и нижняя грани числового множества. Достаточное условие существования верхней (нижней) грани множества.

3. Понятие числовой последовательности. Ограниченные и неограниченные последовательности. Возрастающие, убывающие, невозрастающие, неубывающие последовательности.

4. Предел числовой последовательности, его геометрический смысл. Стационарная последовательность и ее предел. Единственность предела последовательности.

5. Необходимое условие сходимости последовательности. Теорема о связях между последовательностями и их пределами (предельный переход в неравенствах, теорема о пределе промежуточной последовательности).

6. Понятие бесконечно малой последовательности, геометрический смысл. Свойства бесконечно малой последовательности.

7. Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности (через бесконечно малую последовательность).

8. Понятие бесконечно большой последовательности. Связь между бесконечно малой и бесконечно большой последовательностями.

9. Теоремы о пределе суммы, разности, произведения и частного сходящихся последовательностей. . Неопределенности вида , , , . Примеры.

10. Понятие невозрастающей и неубывающей последовательности. Верхняя и нижняя грани последовательности. Теорема о пределе монотонной последовательности.

11. Определение предела функции по Гейне и по Коши, их эквивалентность. Геометрический смысл предела функции.

12. Односторонние пределы функции в точке. Необходимое и достаточное условие существования предела функции в точке (через односторонние пределы).

13. Теорема о единственности предела функции. Теорема об ограниченности функции, имеющей предел в точке.

14. Теоремы о предельном переходе в неравенствах. Теоремы о пределе суммы, разности, произведения и частного функции.

15. Виды неопределенностей. Примеры. Теорема о пределе сложной функции.

16. I-й замечательный предел и следствия из него.

17. II-й замечательный предел и следствия из него.

18. Понятие бесконечно малой функции в точке. Свойства бесконечно малых функций. Необходимое и достаточное условие существования предела функции в точке (через бесконечно малую функцию).

19. Понятие бесконечно большой функции. Связь между бесконечно малой и бесконечно большой функциями.

20. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые. Теорема о пределе отношения двух бесконечно малых функций. Сравнение бесконечно больших функций.

21. Определение функции, непрерывной в точке ("на языке пределов", по Коши, по Гейне, "на языке приращений"). Определение функции, непрерывной на множестве.

22. Односторонняя непрерывность функции в точке. Необходимое и достаточное условие непрерывности функции в точке.

23. Непрерывность суммы, разности, произведения и частного непрерывных функций. Непрерывность сложной функции.

24. Свойства функций, непрерывных в точке. Точки разрыва и их классификация.

Поиск по сайту: