Понятие площади, свойства площади.

Вычисление площади основывается на следующих основных свойствах площади:

• Положительность. Площадь есть неотрицательное число.
• Аддитивность. Площадь замкнутой области, составленных из нескольких фигур, не имеющих общих внутренних точек, равна сумме площадей этих фигур.
• Инвариантность. Площади равных фигур одинаковы.
• Нормированность. Площадь квадрата, построенного на единичном отрезке, равна единице.

За единицу измерения площади примем площадь элементарного квадрата со стороной r.

Рассмотрим ограниченную фигуру G в прямоугольной декартовой системе координат, ее площадь обозначим S(G). Построим прямые, параллельные оси абсцисс и оси ординат на расстоянии r друг от друга. Эти прямые образуют сетку и разбивают плоскость xOy на элементарные квадраты. Обозначим – фигуру, состоящую из элементарных квадратов, полностью лежащих внутри G и не касающихся ее границы (красная заштрихованная область на рисунке), а - фигуру, состоящую из элементарных квадратов, которые имеют с границей G хотя бы одну общую точку (синяя заштрихованная область на рисунке), а - фигуру, являющуюся объединением и (объединение заштрихованных синей и красной областей). Обозначим площади фигур и соответственно и , они равны количеству составляющих их элементарных квадратов.

Если бесконечно уменьшать длину стороны элементарного квадрата r (делать сетку гуще), то получим множество значений площадей и .

Множество ограничено сверху, следовательно, имеет точную верхнюю грань , назовем ее внутренней площадью фигуры G. Множество ограничено снизу, следовательно, имеет точную нижнюю грань , назовем ее внешней площадью фигуры G.

Фигуру G, у которой внешняя площадь равна внутренней, называют квадрируемой и число есть площадь этой фигуры.

Равенство означает, что площадь квадрируемой фигуры есть единственное число, обладающее этим свойством.

Площадью границы фигуры G называют предел последовательности значений площади при . Для квадрируемой фигуры G площадь границы равна нулю.

Следует заметить, что понятие квадрируемости можно ввести и иначе, например, если рассматривать вписанные и описанные многоугольные фигуры (многоугольной фигурой называют фигуру, которую можно составить из конечного числа треугольников без общих внутренних точек).

Фигура G называется квадрируемой, если для любого сколь угодно малого положительного числа существуют такие входящая и объемлющая многоугольные фигуры P и Q, что и .

В качестве примера можно привести круг с вписанными и описанными правильными -угольниками, где n – натуральное число.

К началу страницы

Квадрируемые фигуры.

Сейчас выясним как же выглядят и как задаются квадрируемые фигуры. Другими словами, площадь каких фигур нам предстоит находить.

Сразу скажем, что фигуры, с которыми мы обычно встречаемся в геометрии (круг, эллипс, квадрат и т.п.), являются квадрируемыми.

Отметим, что любая квадрируемая фигура ограничена. То есть, мы не будем говорить о площади неограниченных фигур.

Объединение и пересечение, а также разность квадрируемых фигур есть квадрируемая фигура.

Сейчас перечислим виды квадрируемых фигур, с которыми мы будем наиболее часто встречаться при вычислении площадей.

• Фигура квадрируема, если она ограничена непрерывными линиями, являющимися частями графиков функций y = f(x) и x = g(y). Ниже приведены примеры таких фигур. На первом рисунке область сверху ограничена параболой , снизу кривой , справа и слева прямыми x = 1 и x = 9. На втором рисунке в качестве границ области выступают линии .

Примеры вычисления площадей таких фигур Вы можете посмотреть в статье нахождение площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x), x=g(y).

• Фигура квадрируема, если она ограничена гладкими кривыми. То есть, часть границы может быть задана параметрически . Функции и непрерывны вместе со своими производными на некотором интервале и не имеют самопересечений, что равносильно условию для любого . В качестве примера можно привести фигуру, ограниченную осями координат и частю астроиды для .

Нахождению площадей таких квадрируемых фигур посвящена статья вычисление площади фигуры, ограниченной параметрически заданной кривой.

• Фигура квадрируема, если она ограничена простыми замкнутыми кривыми, начало которых совпадает с концом (наиболее часто задаются в полярной системе координат). Для примера приведем один лепесток фигуры .

Можете ознакомиться с материалом статьи вычисление площади фигуры в полярных координатах.

Подведем итог.

Площадь – это единственная функция, определенная на классе квадрируемых фигур и обладающая свойствами положительности, аддитивности, инвариантности и нормированности.

Поиск по сайту: