Метод наименьших квадратов.

Метод последовательного логарифмирования.

Метод последовательного логарифмирования применим для аппроксимации гладких неколебательных апериодических переходных процессов.

Переходная функция должна быть представлена выражением вида:

,

где С₀=h_¥ »h(Ty), С_i и а_i – вещественные числа, причем корни характеристического уравнения а_i должны удовлетворять эмпирическому неравенству

; i=1,2,…n-1

Выражение есть решение линейного дифференциального уравнения порядка n с возмущающим ступенчатым воздействием. Требуется по таблично или графически заданной переходной функции объекта определить величины коэффициентов С_i, корни характеристического уравнения а_i и порядок уравнения n.

Суть метода заключается в последовательном приближении h(t) сначала решением уравнения первого порядка, то есть функцией . Если эта аппроксимация неудовлетворительна на каком либо отрезке [0 , T], то вводится в рассмотрение вторая составляющая . Неизвестные α_i и C_i определяются на каждом этапе аппроксимации с помощью операции логарифмирования, вследствие чего этот способ и получил свое название.

Поэтому можно предположить, что h(t) есть решение линейного дифференциального уравнения первого порядка, и написать приближенное равенство.

или

Это соотношение верно при больших значениях времени t , когда влияние других составляющих можно пренебречь. Прологарифмируем функцию |h₁(t)| и получим уравнение прямой линии в полулогарифмическом масштабе по оси ординат:

Отсюда нетрудно определить неизвестные величины α₁ и С₁. Для этого вычисляется функция h₁(t)=C₀-h(t) и строится график ln|h₁(t)| в зависимости от времени t.

При правильном определении параметров С_i и α_i должны выполняться следующие условия:

Рассчет в Exel.

Данный метод реализован в EXEL и из-за относительно малого колличества шагов,взятых в Matlab график функции не достигает предела.

Ln(C1)=4,7

C1=110

Tg(a)=0,48/4=0,12

a=6,84

T1=1/Tg(a)=1/0,12=8,3

C0+C1+C2=0

50+110+C2=0

C2=-160

C1*a1+C2*a2=0

a2=-C1*a1/C2=4,7

Tg(a2)=0,0822

T2=1/Tg(a2)=12,165

Среднее квадратическое отклонение S=18,26238

Дисперсия D=333,5145

Метод наименьших квадратов.

Число δ называется среднеквадратичным (или среднеквадратическим) уклонением функции Ф(х) от заданной f(x)

Наряду с δ вводят также вспомогательную величину:

Функцию Ф(х) стараются подобрать, чтобы число δ получилось достаточно малым.

Для нашего случая функция Ф(х) примет вид:

Ф(х) найдена по МНК для f(x) если для нее сумма квадратов отклонений по всем узлам минимальна.

Рассчет в Mathcad.

Значениям t и h(t) соответствуют столбцы TOUT и SIMOUT(h(t)) взятые из Exсel, примененного в методе последовательного логарифмирования.

Метод моментов.

При использовании метода моментов основной проблемой является нахождение функциональной зависимости между моментом входной и выходной функции.

Получить явные выражения для моментов можно несколькими способами.

Первый способ состоит в решении математической модели. Основным достоинством этого метода является возможность определения моментов как

для линейных, так и для нелинейных операторов, при любом промежутке интегрирования Т. Момент произвольной функции Ф интеграл вида

Однако в большинстве случаев получение решения уравнений математической модели в пространстве оригиналов представляет собой довольно сложную задачу. В связи с этим представляют значительный интерес методы, позволяющие определять моменты выходных кривых без предварительного получения решения уравнений модели в пространстве оригиналов. Оказывается, что для вычисления моментов функции достаточно знать ее изображение по Лапласу (которое часто найти гораздо легче, чем функцию). Действительно, согласно определению преобразования по Лапласу функции Ф(t), ее изображение

Это равенство при p=0 имеет вид

, т.е.

Найдем значение

Аналогично, для производных более высокого порядка получим:

Таким образом, для получения момента любого порядка некоторой функции Ф(t) достаточно продифференцировать по р необходимое число раз изображение этой функции и положить р=0.

Наша передаточная функция описывается уравнением апериодического звена второго порядка. Ее изображение по Лапласу имеет вид:

Тогда выражение примет вид:

Рассчитаем нулевой момент:

Рассчитаем первый момент (математическое ожидание):

С другой стороны, т.к. математическое ожидание – это среднее арифметическое значений импульсной переходной функции k(t)=C₀-h(t)

Рассчитаем второй момент (дисперсию):

С другой стороны, т.к. дисперсия – это квадрат отклонения значений k(t) от среднего арифметического M₁ .

Итак, получившаяся система уравнений позволяет найти T₁ и T₂, а следовательно и α₁ и α₂ .

Поиск по сайту: