Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

При равномерном вращении угловая скорость



КРАТКАЯ ТЕОРИЯ

В механике твердого тела рассматривается движение абсолютно твердого тела, т.е. такая система материальных точек, при любых движениях которой взаимное расстояние между ними остается неизменным. Иначе говоря, размеры и форма абсолютно твердого тела не изменяются при его движении. В природе нет абсолютно твердых тел – это физическая абстракция. Всякое тело под действием приложенных к нему сил в большей или меньшей степени деформируется, т.е. изменяет свою форму и размеры. Однако в тех случаях, когда деформация тела при его движении пренебрежимо малы, тело можно считать абсолютно твердым.

Всякое движение твердого тела можно разложить на два основных вида движения – поступательное и вращательное.

Поступательное движение – это такое движение, при котором любая прямая, соединяющая две точки тела, остается параллельной самой себе.

Вращательнымдвижением называется такое движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения. Ось вращения может находиться и вне тела. Окружности, описываемые точками вращающегося тела, располагаются в плоскостях, перпендикулярных к оси вращения.

Рассмотрим кинематику вращательного движения твердого тела.

Рис. 1

 

Величина элементарного перемещения точки А вращающегося твердого тела dS = АА/ связана с угловым перемещением , совершаемым за бесконечно малый промежуток времени dt , формулой: (1)

где - радиус окружности, описываемой точкой А.

Так как - линейная скорость данной точки вращающегося тела, то

(2) где (3)

- угловая скорость, равная производной от углового перемещения от времени.

При равномерном вращении угловая скорость

 

(4)

т.е. равна углу поворота за единицу времени.

Размерность равна

Для полноты характеристики вращательного движения должно быть указано не только числовое значение угловой скорости, но и ориентация оси вращения и направление вращения.

Задать все эти характеристики одновременно можно, рассматривая угловую скорость как вектор.

Вектор угловой скорости направлен по оси вращения, и его направление определяется по правилу буравчика.

Если направление вращения ручки буравчика (с правовинтовой нарезкой) совпадает с направлением вращения тела, то направление поступательного движения буравчика совпадает с направлением вектора угловой скорости . (рис. 2)

Рис. 2

 

Установим связь между направлениями векторов , и .

Расположение этих векторов указано на рис. 3

 

Рис. 3

 

 

Как видно, вектор перпендикулярен и к вектору , и к вектору . Направление вектора можно определить по правилу буравчика (рис. 3). Такая же связь существует между направлениями двух перемножаемых векторов и их векторного произведения. Поэтому т.е. является векторным произведением и .

Если радиус-вектор расположен в плоскости, перпендикулярной оси вращения, то модуль вектора линейной скорости равен:

(5)

При неравномерном вращении быстроту изменения угловой скорости характеризуют величиной, которую называют угловым ускорением. Вектор углового ускорения определяют как производную от угловой скорости по времени.

: .

В случае неподвижной оси, когда векторы и направлены по оси вращения, вектор тангенциального ускорения и вектор углового ускорения связаны следующим соотношением:

Если угловая скорость возрастает по величине, то вектор углового ускорения совпадает по направлению с вектором , а вектор направлен по касательной в ту же сторону, что и линейная скорость (рис. 4).

Ускоренное движение

Рис. 4

Замедленное движение

Рис. 5

Рис. 6

 

Если же угловая скорость убывает по величине, то вектор направлен в сторону, противоположную , а вектор направлен противоположно (рис.5)

В случае неподвижной оси (6)

Перейдем теперь к динамике твердого тела.

Сначала рассмотрим движение одной материальной точки массы m, движущейся по окружности радиуса r вокруг оси вращения.

2-й закон Ньютона для движения материальной точки под действием силы , расположенной в плоскости, перпендикулярной оси вращения, имеет вид

(7)

После векторного умножения на / - радиус – вектор, проведенный от центра окружности к материальной точке / обеих частей равенства (7), имеем

Приняв во внимание, что

И , а , получаем .

Поэтому ,или (8)

Величина (9)называется моментом импульса точки относительно оси вращения.

Векторное произведение называется моментом силы относительно той же оси. Вектор момента силы и вектор момента импульса направлены по оси вращения (рис. 6 ).

Рис. 7

 

Из рис. 7 и по определению векторного произведения видно, что численное значение момента силы равно

Если , то и, следовательно,

(10)

Точно также и , если . Для этого случая можно записать \Или, поскольку , то

Так как для точки, вращающейся по окружности, не изменяется со временем и масса ее , а , то можно записать

Величина называется моментом инерции материальной точкиотносительно оси вращения.

Таким образом, уравнение движения материальной точки по окружности может быть записано и в следующем виде:

(11)

Уравнение движения вращающегося тела, которое можно рассматривать как систему материальных точек, движущихся по окружности, можно получить, суммируя уравнение (11) по всем точкам тела:

Для абсолютно твердого тела , тогда

Величина называется моментом инерции телаотносительно оси. Если тело сплошное, то его разбивают на отдельные элементы, настолько малые, что их можно считать точками, и момент инерции тогда определяется следующим образом:

(12)

где интегрирование должно быть распространено на все элементы тела.

Уравнение движения вращающегося твердого тела (основной закон динамики вращательного движения), таким образом, имеет вид:

(13)

где - результирующий момент внешних сил, действующих на данное тело, т.к. сумма моментов внутренних сил равна 0.

Если мы сравним уравнение (13) с уравнением для поступательного движения твердого тела, то мы увидим, что момент инерции тела характеризует инертность тела во вращательном движении подобно массе тела в поступательном движении. Роль силы при вращательном движении играет момент силы, а линейного ускорения – угловое ускорение.

Отметим, что понятие момента инерции ( формула (12)) было введено выше при рассмотрении вращения твердого тела. Однако следует иметь в виду, что эта величина существует безотносительно к вращению. Каждое тело, независимо от того, вращается оно или покоится, обладает определенным моментом инерции относительно любой оси, подобно тому, как тело обладает массой независимо от того, движется оно или находится в состоянии покоя.

Момент инерции тела относительно какой – либо оси можно найти вычислением или измерить экспериментально. Если вещество в теле распределено непрерывно, то определение момента инерции сводится к вычислению интеграла (12). Аналитическое вычисление таких интегралов возможно только в простейших случаях тел симметричной формы. Для тел неправильной формы такие интегралы могут быть найдены численно.

Вычисление моментов инерции относительно произвольной оси во многих случаях можно упростить, если воспользоваться теоремой Штейнера, котораяформулируется следующим образом: момент инерции относительно произвольной оси равен сумме момента инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр тела, и произведения массы тела «m» квадрат расстояния «а» между осями:

(14)

Момент импульса твердого телаотносительно центра вращения «0» складывается из моментов импульса, составляющих его материальных точек (формула (9)):

 

Из приведенного выражения видно, что в общем случае направление вектора не совпадает с вектором угловой скорости .

1) Центром масс или центром инерции системы называется такая точка, радиус-вектор которой выражается через векторы , , … отдельных материальных точек системы по формуле:

Можно показать, что для каждого тела существуют, по крайней мере, три взаимно перпендикулярных направления в пространстве – оси, при вращении вокруг которых момент импульса параллелен .

В этом случае

(15)

и точка «0», являющаяся точкой пересечения осей совпадает с центром инерции. Такие оси носят название свободных осей . При вращении вокруг свободной оси не возникает моментов сил, стремящихся деформировать ось, и в отсутствие внешних сил ось сохраняет свое положение в пространстве. Если тело обладает осью симметрии, то одна из свободных осей совпадет с ней.

Пользуясь понятием момента импульса тела, можно представить основное уравнение динамики (13) для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси в следующем виде:

(16)

В случае, когда результирующий момент внешних сил, действующих на систему, равен нулю ( =0), то

(17)

Это следствие уравнения (16) носит название закона сохранения момента импульса.

Отметим, что момент силы будет равен нулю не только, когда внешние силы отсутствуют, но и когда эти силы имеют направление, параллельное оси вращения или проходящее через нее.

Кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг оси, складывается из кинетических энергий материальных точек, составляющих это тело:

(18)

При вращении абсолютно твердого тела все точки тела имеют одинаковую угловую скорость

В общем случае движения, полная кинетическая энергия твердого тела складывается из кинетической энергии его поступательного движения со скоростью движения его центра инерции и кинетической энергии вращения вокруг оси, проходящей через центр инерции:

.

 

1. ЦЕЛЬ И СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Целью работы является изучение движения гироскопа.

Содержание работы состоит в определении угловой скорости прецессии гироскопа.

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.